Ipertetraedro
Ipertetraedro | |
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Tipo | Policoro regolare |
Forma celle | Tetraedri regolari |
Nº celle | 5 tetraedri regolari |
Nº facce | 10 triangoli equilateri |
Nº spigoli | 10 |
Nº vertici | 5 |
Cuspidi dei vertici | ![]() (tetraedro regolare) |
Simbolo di Schläfli | {3,3,3} |
Duale | ipertetraedro (è autoduale) |
Proprietà | convesso, regolare, simplesso |
In geometria quadridimensionale, l'ipertetraedro (detto anche 5-cella, pentacoro o 4-simplesso) è uno dei sei policori regolari. È il policoro regolare più semplice, la naturale estensione in dimensione 4 del triangolo (bidimensionale) e del tetraedro (tridimensionale).
L'ipertetraedro regolare è delimitato da tetraedri regolari, ed è uno dei sei politopi regolari, rappresentato dal simbolo di Schläfli {3,3,3}.
Descrizione
Da un punto di vista matematico, un ipertetraedro è l'inviluppo convesso di 5 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale che siano in posizione generale (cioè che non siano contenuti in un sottospazio affine). Ad esempio, si possono prendere i punti
L'inviluppo convesso è quindi l'insieme seguente:
Facce
Come tutti i politopi, l'ipertetraedro ha un certo numero di vertici, spigoli, facce...
- Il pentacoro ha 5 vertici .
- Ciascuna coppia di vertici è collegata da uno spigolo: ci sono quindi 10 spigoli.
- Ciascuna tripletta di vertici determina una faccia: ci sono quindi 10 facce (triangolari).
- Ciascuna 4-upla di vertici determina una 3-faccia: ci sono quindi 5 facce tridimensionali (tetraedri).
Ogni vertice è collegato a 4 spigoli, 6 facce e 4 facce tridimensionali. La cuspide di un vertice è un tetraedro (sferico).
Proiezioni
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f7/5cell-edge-first-small.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/5-cell.gif)
Un poliedro 3-dimensionale può essere disegnato sul piano (bidimensionale): il disegno che ne risulta è generalmente l'immagine di una proiezione del poliedro sul piano. Analogamente, ogni policoro 4-dimensionale può essere proiettato nello spazio 3-dimensionale. L'immagine di questa proiezione dipende dal modo in cui il policoro è posizionato nello spazio euclideo 4-dimensionale (che in matematica è indicato con il simbolo ).
Una proiezione non può descrivere completamente la geometria di un ipertetraedro; sono però visibili alcuni aspetti combinatori, come le incidenze fra vertici, spigoli e facce. Nella proiezione spigoli, facce e/o celle distinte possono intersecarsi, benché siano disgiunte nel poliedro quadridimensionale.
Sviluppo
Lo sviluppo dell'ipertetraedro è composto da 5 tetraedri regolari uniti in modo da avere, a due a due, una sola faccia in comune.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Sviluppo_5-cella.png/130px-Sviluppo_5-cella.png)
Dualità
L'ipertetraedro è autoduale, come tutti i simplessi.
Relazione di Eulero
Per questo politopo vale la relazione (4-dimensionale) di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:
In questo caso 5 + 10 = 10 + 5.
Modello
Per la costruzione del modello del policoro in contesto, sia nella "versione implosa" (in cui l'involucro è costituito dal poliedro di composizione: il tetraedro regolare), che nella "versione esplosa" (in cui l'involucro è costituito dal doppio del poliedro di composizione), i materiali più indicati sono quelli trasparenti (plexiglas, ecc.), ma con il filo metallico ("scheletro essenziale", cioè vertici e spigoli) è più facile da costruire, nell'una o nell'altra versione.
- 5-cella (versione implosa)
- 5-cella (versione esplosa)
- Sviluppo della 5-cella
Bibliografia
- Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
- Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
- L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli (a cura di), Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1979, ISBN 88-203-0265-9.
Voci correlate
Altri progetti
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- Wikimedia Commons
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Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Ipertetraedro, su MathWorld, Wolfram Research.
- Richard Klitzing (multi) prismi, e altri policori di Wythoffian x3o3o3o - pen
- Der 5-Zeller (5-cell) Politopi Regolari di Marco Möller in R4 (German)
- Jonathan Bowers, Regular polychora, su polytope.net.
- Java3D Applets, su public.beuth-hochschule.de. URL consultato il 22 gennaio 2011 (archiviato dall'url originale il 18 luglio 2011).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)