Mediana (geometria)

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In un triangolo, la mediana è un segmento che congiunge un vertice al punto medio del lato opposto.

La mediana di un parallelogramma è il segmento che congiunge i punti medi di due lati opposti.

Alcune proprietà della mediana:

1 - Il triangolo viene diviso dalla mediana in due triangoli aventi la stessa superficie e tutte le altre rette che dividono il triangolo in due parti di uguale superficie non passano per il baricentro.

2 - Le tre mediane di un triangolo si intersecano in un punto chiamato baricentro o centro di massa (per una dimostrazione si veda per esempio il Teorema di Ceva).

3 - Ogni mediana giace per due terzi della propria lunghezza fra il vertice e il baricentro, mentre l'altro terzo si trova fra il baricentro e il punto medio del lato opposto.

La terza proprietà non è immediata. In riferimento alla figura sottostante, provo che ${\displaystyle BG=2GB'}$. Siano ${\displaystyle D}$ ed ${\displaystyle E}$ rispettivamente i punti medi dei segmenti ${\displaystyle BG}$ e ${\displaystyle CG}$. Quindi ${\displaystyle BD=DG}$ (1) e ${\displaystyle CE=EG}$. Applicando il Teorema di Talete al triangolo${\displaystyle ABC}$ tagliato dalla retta passante per ${\displaystyle B'}$ e ${\displaystyle C'}$ ho che

${\displaystyle B'C'={\frac {1}{2}}BC}$.

Applicando il Teorema di Talete al triangolo ${\displaystyle GBC}$ tagliato dalla retta passante per ${\displaystyle D}$ ed ${\displaystyle E}$ ho che

${\displaystyle DE={\frac {1}{2}}BC}$.

Quindi ${\displaystyle DEB'C'}$ è un parallelogramma. In un parallelogramma le diagonali si tagliano scambievolmente a metà, quindi ${\displaystyle DG=GB'}$ (2). Si conclude osservando che per (1) e (2) si ha ${\displaystyle BG=BD+DG=2DG=2GB'}$. Analogo ragionamento per le altre due mediane.

La lunghezza della mediana può essere ottenuta grazie al teorema della mediana. Usando la notazione standard per gli elementi di un triangolo e con ${\displaystyle m_{a}}$, ${\displaystyle m_{b}}$, ${\displaystyle m_{c}}$ le mediane uscenti rispettivamente dai vertici ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, si ha che:

• ${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$
• ${\displaystyle m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-b^{2}}}}$
• ${\displaystyle m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}$

Dimostrazione: Sia ${\displaystyle A'}$ il punto medio del lato ${\displaystyle BC}$. Considero i triangoli ${\displaystyle ABA'}$ e ${\displaystyle AA'C}$. Per la prima proprietà essi sono equivalenti, quindi hanno medesima area, cioè ${\displaystyle ABA'=AA'C}$. Calcolando l'area dei due triangoli applicando la Formula di Erone (conviene la seconda forma proposta) ottengo il primo enunciato. Ragionamento analogo per gli altri due.

• Punto medio
• Baricentro (geometria)
• Altezza (geometria)
• Bisettrice

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su mediana

• (EN) Eric W. Weisstein, Mediana, su MathWorld, Wolfram Research.

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