Misura prodotto

In matematica, una misura prodotto è una misura definita sulla sigma-algebra prodotto di due spazi di misura.

Siano ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ e ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {G}},\lambda )}$ due spazi di misura. Ad ogni funzione ${\displaystyle f}$ definita su ${\displaystyle X\times Y}$ e ad ogni ${\displaystyle x\in X}$ si può associare una funzione ${\displaystyle f_{x}}$ definita in ${\displaystyle Y}$ nel seguente modo:

${\displaystyle f_{x}(y)=f(x,y)\ }$

Analogamente si definisce per ogni ${\displaystyle y\in Y}$ la funzione ${\displaystyle f_{y}}$ tale che:

${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)\ }$

Entrambe le funzioni sono rispettivamente ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$-misurabile e ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$-misurabile.^[1]

Per ogni insieme aperto ${\displaystyle V\in {\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}}$ si definisce inoltre:

${\displaystyle Q=\{(x,y):f(x,y)\in V\}\qquad Q_{x}=\{y:f_{x}(y)\in V\}}$

Si dimostra che se:

${\displaystyle \phi (x)=\lambda (Q_{x})\qquad \psi (y)=\mu (Q_{y})\qquad \forall x\in X\quad \forall y\in Y}$

allora ${\displaystyle \phi }$ è ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$-misurabile e ${\displaystyle \psi }$ è ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$-misurabile, e si ha:^[2]

${\displaystyle \int _{X}\phi d\mu =\int _{Y}\psi d\lambda \ }$

Si definisce la misura ${\displaystyle \mu \times \lambda }$ prodotto delle due misure ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \lambda }$ l'integrale:^[3]

${\displaystyle (\mu \times \lambda )(Q)=\int _{X}\lambda (Q_{x})d\mu (x)=\int _{Y}\mu (Q_{y})d\lambda (y)}$

Tale misura è definita sullo spazio ${\displaystyle (X\times Y,{\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}})}$ ed è l'unica tale per cui valga la seguente proprietà:

${\displaystyle (\mu \times \lambda )(B_{1}\times B_{2})=\mu (B_{1})\lambda (B_{2})\qquad \forall B_{1}\in {\mathfrak {F}},\ B_{2}\in {\mathfrak {G}}}$

L'esistenza di questa misura è garantita dal teorema di Hahn-Kolmogorov, mentre l'unicità è fornita solamente nel caso in cui sia ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ che ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {G}},\lambda )}$ sono σ-finiti.

La misura di Borel sullo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ può essere ottenuta come il prodotto di n copie della misura di Borel sulla retta reale ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

La costruzione opposta alla quella della misura prodotto è la disintegrazione, che in alcuni casi "splitta" una data misura in una famiglia di misure che possono essere integrate per fornire la misura di partenza.

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Fubini.

Il teorema di Fubini stabilisce quali siano le condizioni tali per cui è possibile scambiare l'ordine di integrazione per funzioni misurabili su ${\displaystyle {\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}}$. Siano ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ e ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {G}},\lambda )}$ due spazi di misura. Ad ogni funzione ${\displaystyle f(x,y)}$ che sia ${\displaystyle {\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}}$-misurabile su ${\displaystyle X\times Y}$ e ad ogni ${\displaystyle x\in X}$ si può associare una funzione ${\displaystyle f_{x}}$ definita in ${\displaystyle Y}$ nel seguente modo:

${\displaystyle f_{x}(y)=f(x,y)\ }$

Analogamente si definisce per ogni ${\displaystyle y\in Y}$ la funzione ${\displaystyle f_{y}}$ tale che:

${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)\ }$

Se la funzione ${\displaystyle f}$ è positiva e se:^[4]

${\displaystyle \phi (x)=\int _{Y}f_{x}d\lambda \qquad \psi (y)=\int _{X}f_{y}d\mu }$

allora ${\displaystyle \phi }$ è ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$-misurabile e ${\displaystyle \psi }$ è ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$-misurabile, inoltre:

${\displaystyle \int _{X}\phi d\mu =\int _{X\times Y}fd(\mu \times \lambda )=\int _{Y}\psi d\lambda }$

In modo equivalente si può scrivere:

${\displaystyle \int _{X}d\mu (x)\int _{Y}f(x,y)d\lambda (y)=\int _{Y}d\lambda (y)\int _{X}f(x,y)d\mu (x)\ }$

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• Michel Loève, 8.2. Product measures and iterated integrals, in Probability Theory vol. I, 4th, Springer, 1977, pp. 135–137, ISBN 0-387-90210-4.
• Paul Halmos, 35. Product measures, in Measure theory, Springer, 1974, pp. 143–145, ISBN 0-387-90088-8.
• (EN) product measure, in PlanetMath.

• Integrale di Lebesgue
• Misura (matematica)
• Teorema di disintegrazione
• Teorema di Fubini

• (EN) Eric W. Weisstein, Misura prodotto, su MathWorld, Wolfram Research.

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