Numeri euleriani
In combinatoria, il numero euleriano A(n, m) è il numero di permutazioni dei numeri fra 1 e n nelle quali esattamente m elementi sono maggiori di quelli precedenti. Tali numeri sono anche i coefficienti dei polinomi di Eulero:
I polinomi di Eulero sono definiti dalla funzione generatrice esponenziale:
Essi possono essere calcolati attraverso la seguente formula ricorsiva:
Un modo equivalente per dare questa definizione è quello di definire i polinomi di Eulero induttivamente:
Le notazioni per questi numeri sono A(n, m), E(n, m) e .
Essi non vanno confusi con i numeri di Eulero.
Storia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/EulerianPolynomialsByEuler1755.png/220px-EulerianPolynomialsByEuler1755.png)
Nel 1755 Eulero si occupò, nel libro Institutiones calculi differentialis, dei polinomi α1(x) = 1, α2(x) = x + 1, α3(x) = x2 + 4x + 1, ecc. Tali polinomi sono una variante di quelli che oggi sono chiamati polinomi di Eulero An(x).
Proprietà
Per ogni valore n > 0, l'indice m in A(n, m) può assumere valori compresi tra 0 e n − 1. Per n dato, esiste una sola permutazione con nessun valore maggiore di quello che lo precede; è la permutazione (n, n − 1, n − 2, ..., 1). Inoltre ne esiste una sola con n − 1 valori maggiori del precedente; è la permutazione (1, 2, 3, ..., n). Perciò, A(n, 0) e A(n, n − 1) valgono 1 per ogni valore di n.
L'inversione di una permutazione con m numeri maggiori dei rispettivi numeri precedenti genera un'altra permutazione in cui tali valori sono in quantità n − m − 1. Dunque A(n, m) = A(n, n − m − 1).
I valori di A(n, m) possono essere calcolati a mano per valori piccoli di n e m. Ad esempio, per n ≤ 3, si ha:
n m Permutazioni A(n, m) 1 0 (1) A(1,0) = 1 2 0 (2, 1) A(2,0) = 1 1 (1, 2) A(2,1) = 1 3 0 (3, 2, 1) A(3,0) = 1 1 (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) A(3,1) = 4 2 (1, 2, 3) A(3,2) = 1
Per valori più grandi di n, A(n, m) si può calcolare usando la ricorsione
Da cui, ad esempio:
I valori di A(n, m) (sequenza A008292 dell'OEIS) per 0 ≤ n ≤ 9 sono:
n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 2 1 1 3 1 4 1 4 1 11 11 1 5 1 26 66 26 1 6 1 57 302 302 57 1 7 1 120 1191 2416 1191 120 1 8 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1 9 1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1
Questa disposizione triangolare si chiama triangolo di Eulero e condivide alcune caratteristiche con il triangolo di Tartaglia. La somma dei numeri sulla riga n-esima è .
Formula chiusa
Una forma chiusa per A(n, m) è la seguente:
Proprietà della somma
È evidente dalla definizione di combinatoria che la somma dei numeri di Eulero per un dato valore di n è il numero totale di permutazioni dei numeri tra 1 e n, ovvero
La serie alternata dei numeri di Eulero per n dato è strettamente collegata ai numeri di Bernoulli Bn+1
Altre sommatorie interessanti per i numeri di Eulero sono:
dove Bn è l'n-esimo numero di Bernoulli.
Identità
I numeri di Eulero compaiono nella funzione generatrice delle sequenze di potenze n-esime
Questo implica che 00 = 0 e A(0,0) = 1 (poiché esiste una permutazione di 0 elementi, e nessuno di essi può essere maggiore di un altro).
L'identità di Worpitzky permette di esprimere xn come combinazione lineare di numeri di Eulero con i coefficienti binomiali:
Da questa identità segue che
Un'altra curiosa identità è
Dove il numeratore delle frazioni di destra è un polinomio di Eulero.
Numeri euleriani di seconda specie
Le permutazioni del multiinsieme {1, 1, 2, 2, ···, n, n} con la proprietà che, per ogni k, tutti i numeri compresi tra le due occorrenze di k nella permutazione sono maggiori di k, possono essere contate attraverso il semifattoriale . I numeri euleriani di seconda specie, indicati con , servono a contare il numero di permutazioni con esattamente m elementi che sono più grandi dell'elemento che li precede. Ad esempio, se n = 3 ci sono 15 permutazioni di questo tipo:
I numeri euleriani di seconda specie soddisfano la relazione di ricorrenza, che discende dalla definizione:
con la condizione iniziale che n = 0, espressa attraverso le parentesi di Iverson:
Analogamente, i polinomi euleriani di seconda specie, qui indicati con Pn (non esiste una notazione standard) sono
e per essi vale la seguente relazione di ricorrenza:
con condizione iniziale
Quest'ultima ricorrenza può essere scritta in modo più compatto attraverso un fattore di integrazione:
tale che la funzione razionale
soddisfa la seguente relazione di ricorrenza:
da cui si ottengono i polinomi di Eulero nella forma Pn(x) = (1−x)2n un(x), e i numeri euleriani di seconda specie come coefficienti.
Questi sono i primi valori per i numeri euleriani di seconda specie (sequenza A008517 dell'OEIS):
n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 2 1 2 3 1 8 6 4 1 22 58 24 5 1 52 328 444 120 6 1 114 1452 4400 3708 720 7 1 240 5610 32120 58140 33984 5040 8 1 494 19950 195800 644020 785304 341136 40320 9 1 1004 67260 1062500 5765500 12440064 11026296 3733920 362880
In cui, di conseguenza, la somma della riga n-esima (che corrisponde anche al valore di Pn(1)), è .
Bibliografia
- (LA) Leonardo Eulero, Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum [Fondamenti del calcolo differenziale, con applicazioni in analisi finita e serie], Academia imperialis scientiarum Petropolitana; Berolini: Officina Michaelis, 1755.
- (EN) Graham, Knuth e Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2ª ed., Addison-Wesley, 1994, pp. 267-272.
- (EN) Eulerian numbers with fractional order parameters, in Aequationes Mathematicae, vol. 46, 1993, pp. 119–142, DOI:10.1007/bf01834003.
- (EN) T. K. Petersen, Eulerian Numbers, Birkhaüser, 2015.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Euler-matrix (PDF), su go.helms-net.de. URL consultato il 7 gennaio 2017.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)