Numero beth

In matematica, e più precisamente in teoria degli insiemi, il numero beth indica una particolare successione di numeri cardinali. Il simbolo è bet, ${\displaystyle \beth }$, la seconda lettera dell'alfabeto ebraico.^[1]

La successione è parametrizzata sui numeri ordinali e definita per induzione transfinita come segue:

${\displaystyle {\begin{cases}\beth _{0}=\aleph _{0}\\\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}\\\beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\gamma }\mid \gamma \in \lambda \}\qquad {\text{con }}\lambda {\text{ limite}}\end{cases}}}$

Per le regole dell'aritmetica dei cardinali, dato un cardinale ${\displaystyle k}$ si ha che ${\displaystyle 2^{k}}$ è la cardinalità dell'insieme di funzioni da ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle \{0,1\}}$, che non è altro che la cardinalità di ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$, l'insieme delle parti di ${\displaystyle k}$.

Alla luce di questa osservazione, il secondo "tassello" della definizione della successione può essere riscritto come:

• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=\left|{\mathcal {P}}(\beth _{\alpha })\right|}$

A questo punto si nota che i primi elementi della successione sono i cardinali più utilizzati in matematica:

• ${\displaystyle \beth _{0}}$ è la cardinalità del numerabile
• ${\displaystyle \beth _{1}}$ è la cardinalità del continuo, cioè di ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \beth _{2}}$ è la cardinalità di ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$, ovvero il "numero" di insiemi di numeri reali

Sorge spontanea la domanda "Tutti i cardinali fanno parte di questa successione?"

In altre parole: la successione dei numeri ${\displaystyle \beth }$ coincide con quella dei numeri ${\displaystyle \aleph }$?

Che ${\displaystyle \beth _{0}}$ coincida con ${\displaystyle \aleph _{0}}$, è vero per definizione. Andando in ordine, il primo caso non banale è quindi ${\displaystyle \beth _{1}}$, la cui equivalenza con ${\displaystyle \aleph _{1}}$ però non è altro che l'ipotesi del continuo, che è dimostrata essere indecidibile se ci si basa sugli assiomi standard della matematica.

In generale, l'equivalenza ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ è la cosiddetta ipotesi generalizzata del continuo, ed è ovviamente indecidibile, dato che lo è un suo caso particolare.

• Numero aleph
• Gerarchia di Von Neumann

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