Numero di Dottie

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In matematica, il numero di Dottie è una costante che è l'unica radice reale dell'equazione

${\displaystyle \cos x=x,}$

dove l'argomento del coseno è in radianti. L'espansione decimale del numero di Dottie è ${\displaystyle 0,739085\ldots }$.^[1]

Essendo ${\displaystyle \cos(x)-x}$ strettamente decrescente, attraversa lo zero solo in un punto. Ciò implica che l'equazione ${\displaystyle \cos(x)=x}$ ha una sola soluzione reale. È l'unico punto fisso reale della funzione coseno ed è un esempio non banale di punto fisso di attrazione universale. È anche un numero trascendente a causa del teorema di Lindemann-Weierstrass.^[2] Il caso generalizzato ${\displaystyle \cos z=z}$ per una variabile complessa ${\displaystyle z}$ ha infinite radici, ma a differenza del numero di Dottie, non attraggono punti fissi.

Usando la serie di Taylor dell'inverso di ${\displaystyle f(x)=\cos x-x}$ in ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ (o equivalentemente, il teorema di inversione di Lagrange), il numero di Dottie può essere espresso come la serie infinita ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,{\text{dispari}}}a_{n}\pi ^{n}}$ dove ciascun ${\displaystyle a_{n}}$ è un numero razionale definito per ${\displaystyle n}$ dispari come^[3][4][5]

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial x^{n-1}}}{\left({\frac {\cos x}{x-\pi /2}}-1\right)^{-n}},}$

i cui primi valori sono:

${\displaystyle a_{1}=-{\frac {1}{4}};}$

${\displaystyle a_{3}=-{\frac {1}{768}};}$

${\displaystyle a_{5}=-{\frac {1}{61440}};}$

${\displaystyle a_{7}=-{\frac {43}{165150720}}.}$

Samuel Kaplan riferisce che il nome deriva da una professoressa di francese che aveva notato il numero ottenuto premendo ripetutamente il pulsante del coseno sulla sua calcolatrice.^[3]

• T.H. Miller, On the numerical values of the roots of the equation cosx = x, in Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, vol. 9, 1890, pp. 80-83, DOI:10.1017/S0013091500030868.
• Valerii Salov, Inevitable Dottie Number. Iterals of cosine and sine, in arXiv: History and Overview, 2012, arXiv:1212.1027.
• Mohammad K. Azarian, On the fixed points of a function and the fixed points of its composite functions (PDF), in International Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 46, 2008.