Un numero quadrato triangolare è un numero che è sia triangolare sia quadrato. Esistono infiniti numeri triangolari quadrati[1], dati dalla formula:
![{\displaystyle N_{k}={1 \over 32}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764faa8ec78cd461374e735bef08bcf064822296)
Il 36, ad esempio, può essere rappresentato sia come quadrato sia come triangolo:
Il problema della ricerca di numeri triangolari quadrati si riduce all'equazione di Pell. Infatti, si tratta di trovare due numeri q e t tali che il q-esimo numero quadrato sia uguale al t-esimo numero triangolare:
![{\displaystyle \,t(t+1)/2=q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed9234bbd955b76a8f49e462c34297a69354e3f)
Con qualche trasformazione diventa:
![{\displaystyle \,t^{2}+t=2q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec667059ae7c5c74f3ffb7864d7409c2d534da0b)
![{\displaystyle \,t^{2}+2t/2+1/4-1/4=2q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d92f6544b802cbe8378e340dbbd1384e7b81c7)
![{\displaystyle \,(t+1/2)^{2}=2q^{2}+1/4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d39d591396cfdd1e4f49a213493d1319442da0)
![{\displaystyle \,(2t+1)^{2}=8q^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34841ff2f12e5731ea4c6d3d9ad1554cdb727a3)
Sostituendo m = 2t + 1 e n = 2q, otteniamo la seguente equazione diofantea:
![{\displaystyle \,m^{2}=2n^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0470e2dc4eb4c780a8968f1fd80c79eeb86681)
che è un'equazione di Pell.
Il k-esimo numero triangolare quadrato Nk è uguale al q-esimo quadrato e al t-esimo triangolare tali che:
![{\displaystyle q(N)={\sqrt {N}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcaeb01ca00a2e13c75a303526162b410cf85abe)
![{\displaystyle t(N)=\lfloor {\sqrt {2N}}\rfloor .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef7f1f4ef5767cb2f19a3bb61903ecb0af75baf)
t è dato dalla formula:
.
Al crescere di k, il rapporto t/q tende alla radice di due:
Note
Altri progetti
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Collegamenti esterni
- (EN) Numeri triangolari che sono anche quadrati. Da Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
- (EN) Square triangular number, su MathWorld
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