Ottetto (matematica)
In matematica, gli ottetti (o ottonioni) sono un'estensione non associativa dei quaternioni. L'algebra relativa viene spesso denotata con oppure con O.[1][2]
Storia
Furono inventati da John T. Graves nel 1843, e indipendentemente da Arthur Cayley, che pubblicò il primo lavoro su essi nel 1845. Spesso ci si riferisce a essi come ai numeri di Cayley, agli ottetti di Cayley o all'algebra di Cayley.
Operazioni algebriche
Gli ottetti formano un'algebra a 8 dimensioni non associativa sul campo dei numeri reali e si possono quindi manipolare mediante ottuple (sequenze di lunghezza 8) di numeri reali. Lo spazio vettoriale degli ottetti è costituito dalle combinazioni lineari dei seguenti ottetti: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 e e7. Questi costituiscono una base di elementi invertibili dell'algebra.
Sommare degli ottetti vuol dire sommare i relativi coefficienti, come per i numeri complessi o per i quaternioni, e più in generale i vettori. La moltiplicazione degli ottetti si ottiene per bilinearità dalla matrice di moltiplicazione degli ottetti di base, la cui tabella è presentata qui sotto. Le sette unità immaginarie e l'unità non costituiscono un gruppo a causa della mancanza di associatività, ma formano comunque un quasigruppo e più precisamente un loop.
· | 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
1 | 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
e1 | e1 | −1 | e4 | e7 | −e2 | e6 | −e5 | −e3 |
e2 | e2 | −e4 | −1 | e5 | e1 | −e3 | e7 | −e6 |
e3 | e3 | −e7 | −e5 | −1 | e6 | e2 | −e4 | e1 |
e4 | e4 | e2 | −e1 | −e6 | −1 | e7 | e3 | −e5 |
e5 | e5 | −e6 | e3 | −e2 | −e7 | −1 | e1 | e4 |
e6 | e6 | e5 | −e7 | e4 | −e3 | −e1 | −1 | e2 |
e7 | e7 | e3 | e6 | −e1 | e5 | −e4 | −e2 | −1 |
Moltiplicazione degli ottetti e Piano di Fano
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/18px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Fano_mnemonic.png/150px-Fano_mnemonic.png)
Una comoda regoletta mnemonica per ricordare i prodotti degli ottetti unitari è data dal diagramma del piano di Fano composto da sette punti e sette linee (il cerchio tra i, j, k è considerato una linea). Le linee si devono considerare orientate nel diagramma. I sette punti corrispondono alle sette unità immaginarie. Ogni paio di punti distinti giace su un'unica linea e ogni linea passa esattamente da tre punti. Siano (a, b, c) una tripla ordinata di punti giacenti su una data linea con ordine specificato dalla direzione della freccia. La moltiplicazione è data da:
- ab = c e ba = −c
soggetta a permutazione ciclica. Questa regola insieme a:
- 1 è l'identità,
- e2 = −1 per ogni punto del diagramma, definisce completamente la struttura moltiplicativa degli ottetti. Ognuna delle sette linee genera una sottoalgebra di O isomorfa ai quaternioni H.
In particolare sottoalgebre quaternioniche sono generate dalle unità immaginarie con i seguenti indici:
- 1,2,4
- 2,3,5
- 3,4,6
- 4,5,7
- 5,6,1
- 6,7,2
- 7,1,3
Rappresentazione "matriciale" degli ottetti
Poiché la moltiplicazione degli ottetti non è associativa, contrariamente a quanto accade per i quaternioni non ne esiste una rappresentazione matriciale. Tuttavia Max Zorn propose una comoda rappresentazione, visivamente simile a quella matriciale, in cui l'ottetto viene decomposto come aggregato di due scalari e due vettori tridimensionali (Algebra di Zorn).
Sia A un generico elemento dell'Algebra di Zorn, detto vettore-matrice o matrice di Zorn:
il prodotto tra due elementi dell'algebra di Zorn si definisce:
che corrisponde alla comune moltiplicazione di matrici se si eccettuano i termini di prodotto vettoriale che rendono questa moltiplicazione non-associativa.
Con queste definizioni, si ha che gli ottetti possono essere espressi in forma "matricial-vettoriale" nell'algebra di Zorn. Si ha che un ottetto X può esser messo nella forma:
dove x e y sono numeri reali e v e w sono vettori in R3. Si noti la somiglianza con la rappresentazione matriciale dei quaternioni:
dove stavolta x,y,v,w sono tutti numeri reali.
Il "determinante" di una matrice di Zorn si definisce come consueto:
- .
Questo determinante è una forma quadratica dell'algebra di Zorn che soddisfa la regola:
Pertanto il determinante della matrice di Zorn associato ad un ottetto è:
- ,
ossia la norma al quadrato stessa dell'ottetto.
Proprietà
Gli ottetti forniscono l'unica algebra a dimensione-finita non-associativa definibile sul campo dei numeri reali. Le uniche algebre a dimensione finita associative sono costituite dai numeri reali stessi (algebra monodimensionale), dai numeri complessi (algebra bidimensionale) e dai quaternioni (algebra quadridimensionale). Mentre già con i quaternioni si perde la commutatività della moltiplicazione, gli ottetti perdono anche l'associatività:
In essi comunque non esistono divisori dello zero.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Magnifying_glass_icon_mgx2.svg/18px-Magnifying_glass_icon_mgx2.svg.png)
Tuttavia essi sono collegati ad alcune strutture matematiche come i gruppi di Lie eccezionali. Il gruppo degli automorfismi (simmetrici) degli ottetti è il gruppo di Lie G2.
Note
- ^ P. Lounesto, p. 97.
- ^ I.-R. Porteous, p. 178.
Bibliografia
- (EN) P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-59916-4.
- (EN) H.-D. Ebbinghaus et al. (eds.), Numbers, Springer, 1991.
- (EN) I.-R. Porteous, Clifford Algebras and the ClassicalGroups, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55177-3.
Voci correlate
Altri progetti
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Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Ottetto / Ottetto (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.
- The Octonions - un articolo di John C. Baez
Controllo di autorità | LCCN (EN) sh2002008702 · GND (DE) 4745179-8 · BNF (FR) cb15608111r (data) · J9U (EN, HE) 987007558916605171 |
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