Regola della potenza

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In analisi matematica, la regola della potenza è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione ${\displaystyle h(x)=f(x)^{g(x)}}$, dove ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ sono funzioni derivabili.

La derivata della funzione ${\displaystyle h(x)}$, detta anche funzione composta esponenziale, può essere vista come il prodotto della funzione originaria per la derivata del prodotto ${\displaystyle g(x)\cdot \ln(f(x))}$.

${\displaystyle D\left[h(x)\right]=h(x)\cdot D\left[g(x)\cdot \ln(f(x))\right]=f(x)^{g(x)}\left[g'(x)\ln(f(x))+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right]}$

Le notazioni ${\displaystyle D\left[f(x)\right]}$ e ${\displaystyle f'(x)}$ indicano il medesimo significato di derivata.

Si consideri l'identità iniziale ${\displaystyle h(x)=f(x)^{g(x)}}$. Applicando il logaritmo naturale ad ambo i membri si ottiene l'identità

${\displaystyle \ln(h(x))=\ln \left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)\cdot \ln(f(x))}$

e derivando il tutto si ha

${\displaystyle D\left[\ln(h(x))\right]={\frac {h'(x)}{h(x)}}=D\left[g(x)\cdot \ln(f(x))\right]}$.

Ne consegue che

${\displaystyle h'(x)=h(x)\cdot D\left[g(x)\cdot \ln(f(x))\right]}$

da cui segue la tesi. cvd.

• (EN) Eric W. Weisstein, Regola della potenza, su MathWorld, Wolfram Research.

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