Riordinamento radiale

In analisi funzionale, una branca della matematica,il riordinamento monotono viene utilizzato quando, data una funzione generica dello spazio ${\displaystyle L^{p}}$, può essere comodo riuscire ad associarne una nuova avente stessa norma, ma più regolare, in particolare a simmetria radiale.

Dato un insieme misurabile ${\displaystyle A}$, il suo riordinamento radiale ${\displaystyle A^{*}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è dato da:

${\displaystyle A^{*}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\,\omega _{n}\cdot |x|^{n}<|A|\}}$

dove ${\displaystyle \omega _{n}}$ è il volume della sfera unitaria e ${\displaystyle |A|}$ il volume di ${\displaystyle A}$. Si tratta quindi di una sfera centrata nell'origine che ha lo stesso volume di ${\displaystyle A}$.

Il riordinamento radiale di una funzione misurabile non negativa ${\displaystyle f}$ i cui insiemi di livello hanno misura finita è:

${\displaystyle f^{*}(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:f(y)>t\}^{*}}(x)\,dt}$

Ovvero, il valore di ${\displaystyle f^{*}(x)}$ fornisce il valore ${\displaystyle t}$ tale per cui il raggio del riordinamento radiale di ${\displaystyle \{y:f(y)>t\}}$ è ${\displaystyle x}$. Questa definizione è motivata dal fatto che l'identità:

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:g(y)>t\}}(x)\,dt}$

è valida per ogni funzione non-negativa ${\displaystyle g}$; quindi la definizione data è l'unica che implica ${\displaystyle \mathbb {I} _{A}^{*}=\mathbb {I} _{A^{*}}}$.

• Simmetria radiale: è evidente dalla definizione, infatti se ${\displaystyle |x_{1}|=|x_{2}|}$ allora ${\displaystyle u^{*}(x_{1})=u^{*}(x_{2})}$.

• Monotonia: è evidente dalla definizione, infatti se ${\displaystyle |x_{1}|<|x_{2}|}$ allora:

${\displaystyle \sup \,\{t\in [0,M)\,:\,\mu (t)>\omega _{n}|x_{1}|^{n}\}\geq \sup \,\{t\in [0,M)\,:\,\mu (t)>\omega _{n}|x_{2}|^{n}\}}$

• Semicontinuità inferiore.

Se ${\displaystyle u}$ è lipschitziana con costante di Lipschitz L e ${\displaystyle t>h>0}$, allora vale la stima di decrescita per la misura dei sopralivelli:

${\displaystyle \mu (t-h)-\mu (t)\geq {\frac {h}{L}}\omega _{n}^{\frac {1}{n}}n\mu (t)^{\frac {n-1}{n}}}$

Il numero ${\displaystyle \mu (t-h)-\mu (t)}$ rappresenta la misura dell'insieme ${\displaystyle E_{t-h,t}=\{x:t-h<u(x)\leqslant t\}}$, cioè:

${\displaystyle \mu (t-h)-\mu (t)={\mathcal {H}}^{n}(E_{t-h,t})}$

La ${\displaystyle u}$ è lipschitziana, si può quindi usare la formula di coarea (seconda versione) con le funzioni ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle {\frac {1}{|\nabla u|}}}$, e si ottiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{h}}{\mathcal {H}}^{n}(E_{t-h,t})&={\frac {1}{h}}\int _{E_{t-h,t}}{\frac {1}{|\nabla u(x)|}}|\nabla u(x)|dx\\&={\frac {1}{h}}\int _{t-h}^{t}\int _{u^{-1}(s)}{\frac {1}{|\nabla u(x)|}}d{\mathcal {H}}^{n-1}ds\\&\geqslant {\frac {1}{h}}\int _{t-h}^{t}\int _{u^{-1}(t)}{\frac {1}{L}}d{\mathcal {H}}^{n-1}\\&={\frac {1}{Lh}}\int _{t-h}^{t}{\mathcal {H}}^{n-1}{\big (}u^{-1}(s){\big )}ds\\&\geqslant {\frac {1}{L}}\inf _{s\in (t-h,t)}{\mathcal {H}}^{n-1}{\big (}u^{-1}(s){\big )}\end{aligned}}}$

Ricordando che ${\displaystyle \mu (s)=|E_{s}|}$ e che il bordo di ${\displaystyle E_{s}}$ è contenuto nell'insieme ${\displaystyle \{x:u(x)=s\}}$, per cui se si usa la disuguaglianza isoperimetrica si ha che:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mu (s))^{1-{\frac {1}{n}}}&\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-{\frac {1}{n}}}{\mathcal {H}}^{n-1}(\partial E_{s})\\&\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-{\frac {1}{n}}}{\mathcal {H}}^{n-1}(\{x:u(x)=s\}).\end{aligned}}}$:

La funzione ${\displaystyle \mu }$ è monotona decrescente ed è una funzione semicontinua inferiormente, per cui passando all'estremo inferiore si ottiene:

${\displaystyle {\big (}\mu (t){\big )}^{1-{\frac {1}{n}}}\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-{\frac {1}{n}}}\inf _{s\in (t-h,t)}{\mathcal {H}}^{n-1}(\{x:u(x)=s\}).}$:

Mettendo insieme le relazioni trovate:

${\displaystyle \mu (t-h)-\mu (t)\geqslant {\frac {h}{L}}\omega ^{\frac {1}{n}}n\mu (t)^{\frac {n-1}{n}}}$

e si trova così la stima cercata.

Sia ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}}$ tale che ${\displaystyle \lim _{|x|\to +\infty }u(x)=0}$. Se ${\displaystyle u}$ è Lipschitziana con costante di Lipschitz ${\displaystyle L}$ allora anche la ${\displaystyle u^{*}(x)}$ è Lipschitziana con la stessa costante di Lipschitz.

Se ${\displaystyle u}$ è una funzione appartiene allo spazio ${\displaystyle L^{p}}$, anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma è la stessa. Quindi:

${\displaystyle \|u^{*}\|_{L^{p}}=\|u\|_{L^{p}}}$

Esprimendo il calcolo della norma di ${\displaystyle u}$ in funzione della misura dei sopralivelli:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(x)^{p}dx&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{0}^{+\infty }\chi _{(0,u(x))}(t)pt^{p-1}dt\right)dx\\&=\int _{0}^{+\infty }pt^{p-1}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{(t,+\infty )}(u(x))dx\right)dt\\&=\int _{0}^{+\infty }pt^{p-1}\mu (t)dt\end{aligned}}}$

Lo stesso calcolo vale per la norma di ${\displaystyle u^{*}}$.

Vale la disuguaglianza di Pólya-Szegő, per cui se una funzione appartiene allo spazio ${\displaystyle W^{1,p}}$ anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma del riordinamento è minore o uguale alla norma della funzione.

• G.Talenti, Best Constant in Sobolev Inequality, Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110 (1976), pp.353-376.
• (EN) Srinivasan Kesavan, Symmetrization & applications, Hackensack (New Jersey), World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006, ISBN 981-256-733-X.
• (EN) Bernhard Kawohl, Rearrangements and convexity of level sets in PDE, Berlino, Springer-Verlag, 1985, ISBN 3-540-15693-3.
• (FR) Jacqueline Mossino, Inégalités isopérimétriques et applications en physique., Parigi, Hermann, 1984, ISBN 2-7056-5963-3.

• Disuguaglianza di Pólya-Szegő
• Disuguaglianza di Sobolev
• Formula di coarea
• Teorema di Brothers-Ziemer

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