Spazio riflessivo

In matematica, in particolare in analisi funzionale, uno spazio di Banach (o più in generale uno spazio vettoriale topologico localmente convesso) è detto spazio riflessivo se coincide con il duale continuo del suo spazio duale continuo (cioè il suo biduale), sia come spazio vettoriale, sia come spazio topologico.

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio vettoriale normato sul campo ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$, e con norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$. Si consideri il suo spazio duale continuo ${\displaystyle X'}$, che consiste in tutti i funzionali lineari continui ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {F} }}$ ed in cui è definita la norma duale ${\displaystyle \|\cdot \|'}$ data da:

${\displaystyle \|f\|'=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|\leq 1\}}$

Il duale ${\displaystyle X'}$ è uno spazio di Banach, e il suo duale ${\displaystyle X''=(X')'}$ è detto biduale di ${\displaystyle X}$. Si tratta dell'insieme di tutti i funzionali lineari ${\displaystyle h:X'\to {\mathbb {F} }}$ ed è fornito della norma ${\displaystyle \|\cdot \|''}$, duale di ${\displaystyle \|\cdot \|'}$. A ogni vettore ${\displaystyle x\in X}$ può essere associato un funzionale scalare ${\displaystyle J(x):X'\to {\mathbb {F} }}$ nel modo seguente:

${\displaystyle J(x)(f)=f(x)\qquad f\in X'}$

dove ${\displaystyle J(x)}$ è un funzionale lineare continuo su ${\displaystyle X'}$, ovvero ${\displaystyle J(x)\in X''}$. Si ottiene in questo modo la funzione:

${\displaystyle J:X\to X''}$

detta mappa di valutazione, che è lineare. Segue dal teorema di Hahn-Banach che ${\displaystyle J}$ è una funzione iniettiva e che preserva la norma:

${\displaystyle \forall x\in X\qquad \|J(x)\|''=\|x\|}$

ovvero ${\displaystyle J}$ mappa ${\displaystyle X}$ isometricamente nella sua immagine ${\displaystyle J(X)}$ in ${\displaystyle X''}$. L'immagine ${\displaystyle J(X)}$ non è necessariamente uguale a ${\displaystyle X''}$.

Uno spazio normato ${\displaystyle X}$ è riflessivo se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:

• La mappa di valutazione ${\displaystyle J:X\to X''}$ è suriettiva.
• La mappa di valutazione ${\displaystyle J:X\to X''}$ è un isomorfismo isometrico tra spazi normati.
• La mappa di valutazione ${\displaystyle J:X\to X''}$ è un isomorfismo tra spazi normati.

Uno spazio riflessivo ${\displaystyle X}$ è uno spazio di Banach dal momento che ${\displaystyle X}$ è (per quanto detto sopra) isometrico allo spazio di Banach ${\displaystyle X''}$.

Da notare che uno spazio di Banach è riflessivo se è linearmente isometrico al suo biduale rispetto a ${\displaystyle J}$, ma si dimostra che esiste uno spazio ${\displaystyle X}$ non riflessivo che è linearmente isometrico a ${\displaystyle X''}$.^[1]

Uno spazio di Banach è detto quasi-riflessivo (o di ordine ${\displaystyle d}$) se il quoziente ${\displaystyle X''/J(X)}$ ha dimensione finita ${\displaystyle d}$.

• Se uno spazio di Banach ${\displaystyle Y}$ è isomorfo a uno spazio di Banach riflessivo ${\displaystyle X}$, allora ${\displaystyle Y}$ è riflessivo.
• Ogni sottospazio vettoriale chiuso di uno spazio riflessivo è riflessivo. Il duale di uno spazio riflessivo è riflessivo. Il quoziente di uno spazio riflessivo per un suo sottospazio vettoriale chiuso è riflessivo.
• Se ${\displaystyle X}$ è uno spazio di Banach, le seguenti affermazioni sono equivalenti:
  • ${\displaystyle X}$ è riflessivo.
  • Il duale di ${\displaystyle X}$ è riflessivo.
  • La sfera unitaria chiusa in ${\displaystyle X}$ è compatta nella topologia debole (teorema di Kakutani).
  • Ogni successione limitata in ${\displaystyle X}$ possiede una sottosuccessione debolmente convergente, dal momento che compattezza debole e compattezza sequenziale debole coincidono per il teorema di Eberlein-Šmulian.
  • Ogni funzionale lineare continuo su ${\displaystyle X}$ raggiunge il suo valore massimo sulla sfera unitaria in ${\displaystyle X}$ (teorema di James).

Dalla terza proprietà segue che i sottoinsiemi convessi chiusi e limitati di uno spazio riflessivo ${\displaystyle X}$ sono debolmente compatti. In questo modo, per ogni successione decrescente di insiemi convessi, chiusi, limitati e non vuoti di ${\displaystyle X}$, la loro intersezione non è vuota. Come conseguenza, ogni funzione convessa continua ${\displaystyle f}$ definita su un sottoinsieme convesso e chiuso ${\displaystyle C\subset X}$, e tale per cui l'insieme:

${\displaystyle C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}}$

è non vuoto e limitato per ogni ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, raggiunge il suo minimo valore su ${\displaystyle C}$.

• Gli spazi di Banach riflessivi sono frequentemente caratterizzati tramite le loro proprietà geometriche. Se ${\displaystyle C}$ è un sottoinsieme convesso e chiuso dello spazio riflessivo ${\displaystyle X}$, allora per ogni ${\displaystyle x\in X}$ esiste ${\displaystyle c\in C}$ tale che ${\displaystyle \|x-c\|}$ minimizza la distanza tra ${\displaystyle x}$ e i punti di ${\displaystyle C}$. Si nota che mentre la minima distanza tra ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle C}$ è unicamente definita dalla scelta di ${\displaystyle x}$, lo stesso non si può dire per il punto ${\displaystyle c}$: il punto più vicino ${\displaystyle c}$ è unico quando ${\displaystyle X}$ è uniformemente convesso.
• Uno spazio di Banach riflessivo è separabile se e solo se lo è il suo duale. Ciò segue dal fatto che per ogni spazio normato ${\displaystyle Y}$ la separabilità del duale ${\displaystyle Y'}$ implica la separabilità di ${\displaystyle Y}$ stesso.

Uno spazio di Banach ${\displaystyle Y}$ è finitamente rappresentabile in uno spazio di Banach ${\displaystyle X}$ se per ogni sottospazio ${\displaystyle Y_{0}}$ di ${\displaystyle Y}$ che ha dimensione finita e per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$ esiste un sottospazio ${\displaystyle X_{0}}$ di ${\displaystyle X}$ tale per cui la distanza moltiplicativa di Banach-Mazur tra ${\displaystyle X_{0}}$ e ${\displaystyle Y_{0}}$ soddisfa:^[2]

${\displaystyle d(X_{0},Y_{0})<1+\varepsilon }$

Uno spazio di Banach finitamente rappresentabile in ${\displaystyle \ell ^{2}}$ è uno spazio di Hilbert, ed ogni spazio di Banach è finitamente rappresentabile nello spazio delle successioni ${\displaystyle c_{0}}$. Lo spazio Lp ${\displaystyle L^{p}[0,1]}$ è inoltre finitamente rappresentabile in ${\displaystyle \ell ^{p}}$.

Uno spazio di Banach ${\displaystyle X}$ è detto superriflessivo se tutti gli spazi di Banach ${\displaystyle Y}$ finitamente rappresentabili in ${\displaystyle X}$ sono riflessivi, ovvero se nessuno spazio non riflessivo ${\displaystyle Y}$ è finitamente rappresentabile in ${\displaystyle X}$.

Un risultato che si deve a R. C. James mostra che uno spazio è superriflessivo se e solo se lo è il suo duale.

Il concetto di spazio di Banach riflessivo può essere generalizzato considerando spazi localmente convessi. Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio vettoriale topologico su ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Si consideri il suo spazio duale ${\displaystyle X'_{\beta }}$ relativamente alla topologia forte, che è formato da tutti i funzionali lineari continui ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {F} }}$ e munito della topologia forte ${\displaystyle \beta (X',X)}$, ovvero la topologia associata alla convergenza uniforme di sottoinsiemi limitati di ${\displaystyle X}$. Lo spazio ${\displaystyle X'}$ è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso, e si può quindi considerare il suo duale ${\displaystyle \beta ((X'_{\beta })',X'_{\beta })}$ (relativamente alla topologia forte), detto biduale forte di ${\displaystyle X}$. Si tratta dello spazio formato da tutti i funzionali lineari ${\displaystyle h:X'_{\beta }\to {\mathbb {F} }}$ e in esso è definita la topologia forte ${\displaystyle \beta ((X'_{\beta })',X'_{\beta })}$. Ogni vettore ${\displaystyle x\in X}$ genera una funzione ${\displaystyle J(x):X'_{\beta }\to {\mathbb {F} }}$ per mezzo della formula:

${\displaystyle J(x)(f)=f(x)\qquad f\in X'}$

che è un funzionale lineare continuo su ${\displaystyle X'_{\beta }}$, ovvero ${\displaystyle J(x)\in (X'_{\beta })'_{\beta }}$. Si ottiene la mappa di valutazione:

${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$

che è lineare. Se ${\displaystyle X}$ è localmente convesso, dal teorema di Hahn-Banach si ha che ${\displaystyle J}$ è una funzione iniettiva e aperta (cioè per ogni intorno ${\displaystyle U}$ dello zero in ${\displaystyle X}$ esiste un intorno ${\displaystyle V}$ dello zero in ${\displaystyle (X'_{\beta })'_{\beta }}$ tale che ${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$). Tuttavia può essere non suriettiva, né continua.

Uno spazio localmente convesso ${\displaystyle X}$ è detto:

• semi-riflessivo se la mappa di valutazione ${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$ è suriettiva.
• riflessivo se la mappa di valutazione ${\displaystyle J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }}$ è suriettiva e continua. In tal caso ${\displaystyle J}$ è un isomorfismo tra spazi vettoriali topologici.

Si dimostra che uno spazio di Hausdorff ${\displaystyle X}$ localmente convesso è semi-riflessivo se e solo se ${\displaystyle X}$ con la topologia ${\displaystyle \sigma (X,X^{*})}$ ha la proprietà che i suoi sottoinsiemi chiusi e limitati sono debolmente compatti.

Uno spazio localmente convesso ${\displaystyle X}$ è riflessivo se e solo se è semi-riflessivo ed è uno spazio botte. Inoltre, il duale (rispetto alla topologia forte) di uno spazio semi-riflessivo è uno spazio botte.

• (EN) J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, 1985.
• (EN) Fran\c{c}ois Tr\`{e}ves, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, Inc., 1995, pp. 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433, ISBN 0-486-45352-9.
• (EN) B. Beauzamy, Introduction to Banach spaces and their geometry , North-Holland (1982)
• (EN) M.M. Day, Normed linear spaces , Springer (1973)
• (EN) D. van Dulst, Reflexive and superreflexive Banach spaces , MC Tracts , 102 , Math. Centre (1978)

• Funzionale lineare
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• Spazio di Banach
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• Spazio localmente convesso
• Spazio normato
• Spazio topologico
• Spazio vettoriale
• Topologia polare

• (EN) Eric W. Weisstein, Spazio riflessivo, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) V.I. Sobolev, Reflexive space, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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