Superpotenziale di Komar

In relatività generale, si definisce superpotenziale di Komar[1], relativo alla lagrangiana invariante di Einstein-Hilbert L G = 1 2 κ R − g d 4 x {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }={1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x} , la densità tensoriale espressa dall'equazione:

U α β ( L G , ξ ) = − g κ ∇ [ β ξ α ] = − g 2 κ ( g β σ ∇ σ ξ α − g α σ ∇ σ ξ β ) , {\displaystyle U^{\alpha \beta }({{\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }},\xi )={{\sqrt {-g}} \over {\kappa }}\nabla ^{[\beta }\xi ^{\alpha ]}={{\sqrt {-g}} \over {2\kappa }}(g^{\beta \sigma }\nabla _{\sigma }\xi ^{\alpha }-g^{\alpha \sigma }\nabla _{\sigma }\xi ^{\beta })\,,}

per ogni campo vettoriale ξ = ξ ρ ∂ ρ {\displaystyle \xi =\xi ^{\rho }\partial _{\rho }} , e dove il simbolo ∇ σ {\displaystyle \nabla _{\sigma }} indica la derivata covariante rispetto alla connessione di Levi Civita.

La 2-forma di Komar:

U ( L G , ξ ) = 1 2 U α β ( L G , ξ ) d x α β = 1 2 κ ∇ [ β ξ α ] − g d x α β , {\displaystyle {\mathcal {U}}({{\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }},\xi )={1 \over 2}U^{\alpha \beta }({{\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }},\xi )\mathrm {d} x_{\alpha \beta }={1 \over {2\kappa }}\nabla ^{[\beta }\xi ^{\alpha ]}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} x_{\alpha \beta }\,,}

dove con d x α β = ι ∂ α d x β = ι ∂ α ι ∂ β d 4 x {\displaystyle \mathrm {d} x_{\alpha \beta }=\iota _{\partial {\alpha }}\mathrm {d} x_{\beta }=\iota _{\partial {\alpha }}\iota _{\partial {\beta }}\mathrm {d} ^{4}x} si denota il prodotto interno tra un vettore e una forma differenziale, fu originariamente definita solo nel caso in cui il campo vettoriale ξ {\displaystyle \xi } è un campo vettoriale di Killing di tipo tempo.

Il superpotenziale di Komar è affetto dal problema del fattore anomalo: se lo si utilizza calcolandolo, per esempio, nel caso della metrica di Kerr-Newman, esso fornisce il valore corretto del momento angolare, ma solo la metà della massa prevista[2].

Note

  1. ^ Arthur Komar, Covariant Conservation Laws in General Relativity, in Phys. Rev., vol. 113, n. 3, 1959, p. 934, DOI:10.1103/PhysRev.113.934.
  2. ^ J. Katz, A note on Komar's anomalous factor, in Class. Quantum Gravity, vol. 2, n. 3, 1985, p. 423.

Bibliografia

  • (EN) Charles W. Misner, Kip. S. Thorne e John A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0.
  • (EN) J.L. Synge e A. Schild, Tensor Calculus, first Dover Publications 1978 edition, 1949, ISBN 978-0-486-63612-2.
  • (EN) J.R. Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5.

Voci correlate

  • Azione di Einstein-Hilbert
  • Derivata covariante
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