In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Schur-Horn caratterizza la diagonale di una matrice hermitiana con autovalori dati.
Premessa
Si definisce un preordine su
. Siano
e
, dico che
se, supponendo che:
e ![{\displaystyle y_{j_{1}}\leq \dots \leq y_{j_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f67d6064d4deca1fc7e1b4fc5031bea78b41bf)
Si ha:
![{\displaystyle x_{i_{1}}\geq y_{j_{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1ba96b3b702e9b5fb9b5fd99c28501e5bbd0ff)
![{\displaystyle x_{i_{1}}+x_{i_{2}}\geq y_{j_{1}}+y_{j_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf0fd8fd421614d6e804c5771f5ecd8487b3eab)
![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4)
.
Enunciato
Siano
e
tali che
. Allora valgono i seguenti due fatti equivalenti:
- Esiste una matrice reale simmetrica
con diagonale
e autovalori
; - Esiste una matrice reale ortogonale
tale che, detta
la matrice diagonale di autovalori
,
ha come diagonale
.
Bibliografia
- (EN) Horn, A. "Doubly Stochastic Matrices and the Diagonal of a Rotation Matrix." Amer. J. Math. 76, 620-630, 1954.
- (EN) Lieb, E. H. "Variational Principle for Many-Fermion Systems." Phys. Rev. Lett. 46, 457-459, 1981.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Schur-Horn, su MathWorld, Wolfram Research.
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