Topologia di Krull
La topologia di Krull è la topologia che più spesso viene messa sul gruppo di Galois di un'estensione di campi, in modo da renderlo un gruppo topologico. Nel caso di estensioni di Galois finite, tale topologia è solitamente di poco interesse e coincide con la discreta, per cui essa si rivela particolarmente importante nello studio di estensioni di Galois infinite.
Definizione
Indicheremo d'ora in poi con l'estensione di campi . Diciamo che è di Galois se è un'estensione algebrica normale e separabile, e denotiamo con il suo gruppo di Galois.
Se è di Galois infinita, sia
l'insieme delle sottoestensioni finite di .
Possiamo immergere nel prodotto diretto di gruppi nel seguente modo: per ogni sia la mappa che porta ogni automorfismo nella sua restrizione , e sia la mappa che porta ogni nella successione delle sue restrizioni agli , cioè .
Allora, la è iniettiva e, per il primo teorema di isomorfismo, la sua immagine è isomorfa a .
Definiamo ora una topologia come segue:
- su ciascun gruppo mettiamo la topologia discreta;
- sul prodotto mettiamo la topologia prodotto;
- sull'immagine di contenuta nel prodotto mettiamo la topologia di sottospazio;
- infine, su mettiamo la topologia indotta da come isomorfismo di gruppi, cioè la meno fine topologia che renda un omeomorfismo.
La topologia così ottenuta è la topologia di Krull sul gruppo di Galois.
Una definizione alternativa
La topologia di Krull si definisce, alternativamente, in un modo meno costruttivo e più astratto, tuttavia utile nelle applicazioni.
Sia la famiglia dei gruppi di Galois delle sottoestensioni su , la definita come sopra. Possiamo dotare la di una famiglia di mappe, corrispondenti alle restrizioni degli automorfismi, nel seguente modo: se e , allora porta ogni automorfismo in la sua restrizione su . Si noti che tale restrizione è ben definita, perché è un'estensione normale per ipotesi.
La , dotata delle mappe di restrizione così definite, diventa un sistema proiettivo. Anche se finora si è parlato solo di gruppi, i con sono in realtà gruppi topologici, se su di essi si mette la topologia discreta. Allora, la con le restrizioni è in realtà un sistema proiettivo di gruppi topologici. Il suo limite inverso è un gruppo topologico: come gruppo, si vede essere proprio . La topologia, limite inverso delle topologie discrete sui , che risulta posta su si dice per definizione la topologia di Krull.
Prime proprietà
Si può dimostrare che con la topologia di Krull è T2, compatto e totalmente sconnesso. Questi risultati derivano facilmente dall'osservazione che una base è data dalle classi laterali dei nuclei delle .
Altre proprietà importanti sono:
- è un gruppo topologico con la topologia di Krull, cioè la moltiplicazione e il passaggio all'inversa sono mappe continue;
- un sistema di intorni di è dato dai gruppi ;
- per continuità del prodotto, segue che un sistema di intorni è dato dai al variare di .
Bibliografia
- Siegfried Bosch, Algebra, in Unitext, traduzione di Alessandra Bertapelle, Milano: Springer-Verlag Italia, 2003, ISBN 88-470-0221-4.
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