In analisi funzionale, il funzionale di Legendre o trasformazione di Legendre, è un funzionale involuzione che fu definito da Adrien-Marie Legendre. La funzione risultato si chiama di solito trasformata, come per le trasformate integrali di Laplace, Fourier, ecc. Consente un importante cambiamento di variabile per funzioni dotate di alcune proprietà. Il funzionale è l'inverso di sé stesso
È molto importante in termodinamica: le funzioni energia (energia interna, entalpia, energia libera di Gibbs) sono infatti legate tra loro da trasformazioni di Legendre.
L'argomento del funzionale di Legendre è una funzione convessa a valori reali di variabile reale, e il risultato è un'altra funzione convessa dipendente esplicitamente dalla derivata dell'argomento.[1]
Indice
1Definizione
1.1Funzione generatrice
1.2Definizione alternativa
1.3Funzioni di più variabili
1.4Esempio
2Trasformazione in una dimensione
3Hamiltoniana
4Funzioni termodinamiche
5Note
6Bibliografia
7Voci correlate
8Altri progetti
9Collegamenti esterni
Definizione
La trasformata di Legendre di una funzione convessa reale è data da:
Nel caso sia differenziabile la trasformata può essere vista come il valore cambiato di segno dell'intercetta sull'asse di una particolare retta tangente alla funzione, quella di pendenza .[2] Per calcolare l'estremante di rispetto a , che è il punto per cui è massima la distanza tra la funzione e la retta , se ne pone la derivata nulla:
quindi il valore massimo si verifica quando:
Nel caso si ha:
e il vettore coincide con il gradiente:
Scrivendo in funzione di e inserendolo nella derivata si ottiene una definizione operativa:
dove nella relazione a destra si è esplicitata la dipendenza della trasformata da . La trasformata di Legendre trasforma in un'altra funzione dipendente esplicitamente dalla derivata invece che da .[3]
Funzione generatrice
Un modo di scrivere esplicitamente si ottiene differenziando la funzione :
Introducendo la funzione ausiliaria si ha:
essendo . Si ha pertanto:
La funzione ausiliaria si chiama generatrice.
In generale, si dimostra che se e allora , dove è la soluzione di . Questo risultato consente di mostrare che la trasformata di Legendre applicata a una funzione convessa produce un'altra funzione convessa.
Definizione alternativa
La trasformata di Legendre di può anche essere definita come la trasformazione tale che la sua derivata prima e la derivata della funzione sono una la funzione inversa dell'altra. Detto l'operatore di derivazione:
Infatti, derivando rispetto a si ha:
Pertanto, valgono le relazioni:
dove le funzioni e sono univocamente determinate a meno di una costante additiva, solitamente fissata con l'ulteriore condizione:
Funzioni di più variabili
Si consideri il cui differenziale sia dato da:
Per costruire una funzione che dipenda da e (invece che e ) si definisce . Differenziando:
da cui:
La funzione è il risultato della trasformazione di Legendre di in cui la variabile indipendente è stata rimpiazzata da .
Esempio
Ad esempio, nel caso in cui si ottiene che:
e quindi:
Con procedimento formale, invece, servendosi della generatrice in questo caso si ha:
e semplificando:
da cui:
Trasformazione in una dimensione
In una dimensione la trasformazione di Legendre di può essere valutata con la formula:
e per la definizione di entropia, in condizioni quasistatiche reversibili:
Sostituendo:
Assumendo come variabili libere (o naturali) e , cioè esprimendo ogni altra funzione di stato in funzione di queste due (sufficienti a descrivere lo stato del sistema), si procede nel differenziare :
da cui:
Usando il teorema di Schwartz si ricava la seguente relazione, detta equazione di Maxwell:
Ora si possono operare delle trasformate (non standard) di Legendre sull'energia interna per ottenere altre funzioni termodinamiche e altre utili relazioni sulle varie grandezze di volta in volta derivate o tenute costanti. I calcoli sono assolutamente analoghi agli esempi precedenti a patto di cambiare di volta in volta le variabili libere del sistema.