In fisica teorica le variabili di Mandelstam sono grandezze fisiche che rappresentano energia, impulso e angoli delle particelle in processi di scattering in un sistema Lorentz-invariante. Vengono usate nel caso di urti elastici tra due particelle.
Le variabili di Mandelstam sono definite come:
dove p1 e p2 sono i quadri-impulsi delle particelle incidenti mentre p3 e p4 sono i quadri-impulsi delle particelle uscenti.
s rappresenta il quadrato dell'energia nel sistema del centro di massa ( , dove indica la massa invariante del sistema ) e t il quadrato della quantità di impulso trasferito durante l'urto.
Indice
1Diagrammi di Feynman
2Limite per alte energie
3Addizione
4Bibliografia
5Voci correlate
Diagrammi di Feynman
Le lettere possono essere anche usate per individuare processi in canale-s, canale-t e canale-u. Questi canali rappresentano differenti tipi di diagrammi di Feynman o differenti processi di scattering quando l'interazione comporta lo scambio di una particella intermedia che possiede un momento ,
canale-s
canale-t
canale-u
Per esempio il canale-s corrisponde ad un processo in cui le particelle 1,2 interagiscono generando una particella intermedia, che infine decade nelle particelle 3 e 4: il canale-s è l'unico modo in cui si possono scoprire risonanze e nuove particelle instabili purché abbiano un tempo di vita sufficiente per essere rivelate.
Il canale-t rappresenta un processo in cui la particella 1 emette una particella intermedia e diventa la particella 3 dello stato finale, mentre la particelle 2 interagisce con la particella intermedia e diventa 4. Il canale-u è il canale-t nel quale si è scambiato il ruolo delle particelle 3 e 4.
Limite per alte energie
Nel limite ultrarelativistico la massa può essere trascurata, quindi, ad esempio:
dal momento che e (c =1).
In questo limite le variabili possono essere scritte come
Addizione
Una proprietà di queste variabili è che la loro somma è pari alla somma dei quadrati delle masse delle particelle coinvolte (avendo posto c =1):
.
Per la dimostrazione sono necessarie due considerazioni:
il modulo quadro del quadri-impulso di una particella è il quadrato della sua massa,
e la conservazione del quadri-impulso,
Si inizia scrivendo le tre variabili come:
usando la (1) si può scrivere:
ora, sommando le tre equazioni si trova:
quindi, in conclusione:
Bibliografia
(EN) S. Mandelstam, Determination of the Pion-Nucleon Scattering Amplitude from Dispersion Relations and Unitarity, in Phys. Rev., vol. 112, n. 4, 1958, p. 1344, DOI:10.1103/PhysRev.112.1344. URL consultato il 22 maggio 2018 (archiviato dall'url originale il 28 maggio 2000).
(EN) Francis Halzen e Alan Martin, Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics, John Wiley & Sons, 1984, ISBN 0-471-88741-2.
(EN) Donald H. Perkins, Introduction to High Energy Physics, 4ª ed., Cambridge University Press, 2000, ISBN 0-521-62196-8.
Voci correlate
Diagramma di Feynman
Stanley Mandelstam
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