力学において、オイラーのコマ(オイラーのこま、英: Euler Top)とは、剛体の回転運動(コマの運動)の一種。重力などの外力が全く作用しない自由な運動に相当する。オイラー方程式が可積分となる例の一つとして、知られる。
概要
無重力状態で放られた剛体の回転運動や、重心で支えられた剛体の自由回転運動 など、外力が働かない剛体の運動をオイラーのコマと呼ぶ。 外力が作用しない場合、剛体の運動を記述するオイラー方程式は、
![{\displaystyle I_{1}{\frac {d\omega _{1}}{dt}}=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d37e7dcabf0a803c64c0c441ec66a2f622c7ea)
![{\displaystyle I_{2}{\frac {d\omega _{2}}{dt}}=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b2a3a6636433c3cf0b7b1973ca5ad024f3a7e77)
![{\displaystyle I_{3}{\frac {d\omega _{3}}{dt}}=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2a0e07c826af784484d01d26915f79365ef76c)
で与えられる。 但し、座標原点は剛体の固定点もしくは、剛体の重心位置とし、各座標は慣性主軸方向に一致させるものとする。 ここで、定数I1、I2、I3 は主慣性モーメントである。
オイラーのコマでは、運動エネルギーE と全角運動量の大きさL2が系の保存量となる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{\,2}+I_{2}\omega _{2}^{\,2}+I_{3}\omega _{3}^{\,2})\\\mathbf {L} ^{2}&=I_{1}^{\,2}\omega _{1}^{\,2}+I_{2}^{\,2}\omega _{2}^{\,2}+I_{3}^{\,2}\omega _{3}^{\,2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877eead5bca5c5f519281c7d9df33d23643d8616)
運動エネルギーE と全角運動量の大きさL2を指定することで定まる等エネルギー面と等角運動量面は、(ω1, ω2, ω3)空間における2つの楕円面を成しており、運動の軌道はそれらの交わりによって定められる曲線となる。
一般解
オイラーのコマは可積分な系の一つであり、その解は楕円関数で記述できる[1]。
- I1<I2<I3の場合
慣性モーメントにI1<I2<I3 の関係が成り立つとき、運動の解はヤコビの楕円関数を用いて、
![{\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2}}{I_{1}(I_{3}-I_{1})}}}\operatorname {cn} (\lambda t,k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8f06ba34754181db4511a7b974b726595bcd00)
![{\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2}}{I_{2}(I_{3}-I_{2})}}}\operatorname {sn} (\lambda t,k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1dd591b862cd48a0522cce85b01afd4df04ae3)
![{\displaystyle \omega _{3}={\sqrt {\frac {\mathbf {L} ^{2}-2EI_{1}}{I_{3}(I_{3}-I_{1})}}}\operatorname {dn} (\lambda t,k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374c623b56deefd88930aab68e3b570524145353)
![{\displaystyle k={\sqrt {\frac {(I_{2}-I_{1})(2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2})}{(I_{3}-I_{2})(\mathbf {L} ^{2}-2EI_{1})}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ebf52daf4afc1689487bea3f7c99b5bcc0f6eb)
と表される。ここで、λは
![{\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {(\mathbf {L} ^{2}-2EI_{1})(I_{3}-I_{2})}{I_{1}I_{2}I_{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408bc5b159555dc58fb37228833a8a4b0062230d)
で与えられる定数であり、時間tはt=0でω2=0となるように取り直している。
これらは次の周期T を持つ周期運動である。
![{\displaystyle T={\frac {4K}{\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537c9fdc1d7abc4176df16a971ddaa59bd98e985)
但し、K=K(k)は第一種完全楕円積分である。
- I1=I2<I3の場合
慣性モーメントにI1=I2<I3 の関係が成り立つとき、運動の解は
![{\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2}}{I_{1}(I_{3}-I_{1})}}}\cos {(\lambda t)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66e05bb640b465efb59a110b829f974ba651259)
![{\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2}}{I_{1}(I_{3}-I_{1})}}}\sin {(\lambda t)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994bdd7a238f52cc4dbc68e2410861b3ced1d066)
![{\displaystyle \omega _{3}={\frac {I_{1}}{I_{3}-I_{1}}}\lambda =\operatorname {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e25476574ce019b887174a8532add42b2f0a40)
となる。
脚注
- ^ L.D. Landau and E.M. Lifshitz (1969), chapter.VI
参考文献
- H. Goldstein,C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics; 瀬川富士、矢野忠、江沢康生 (翻訳)『古典力学〈上〉 (物理学叢書)』吉岡書店 (2006) ISBN 978-4842703367
- L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Mechanics (Volume 1 of A Course of Theoretical Physics ), Pergamon Press 1969; 広重徹、水戸巌 (翻訳)『力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程』東京図書 (1986) ISBN 978-4489011603
関連項目