ハッセ＝ダベンポートの関係式

数学において、 Davenport and Hasse (1935) によって導入されたハッセ＝ダベンポートの関係式（ハッセ＝ダベンポートのかんけいしき、英: Hasse–Davenport relations）とは、ガウス和に関する二つの関係式で、一つはハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式（Hasse-Davenport lifting relation）と呼ばれ、もう一つはハッセ＝ダベンポートの積の関係式（Hasse-Davenport product relation）と呼ばれる。ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式は、数論における異なる体上のガウス和に関連するある等式である。ヴェイユ予想に動機付けられ、Weil (1949) はこの式をある有限体上のフェルマー超曲面のゼータ関数を計算するために用いた。

ガウス和は有限体上のガンマ関数の類似物であり、ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は次のガウスの積公式の類似物である：

Γ ( z ) Γ ( z + 1 k ) Γ ( z + 2 k ) ⋯ Γ ( z + k − 1 k ) = ( 2 π ) k − 1 2 k 1 / 2 − k z Γ ( k z ) . {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{1/2-kz}\;\Gamma (kz).\,\!}

実際、ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は、p-進ガンマ関数と Gross & Koblitz (1979) のグロス＝コブリッツの公式に対する類似の乗法的公式から得られる。

ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式

F を q 個の元を持つある有限体とし、Fs を [Fs:F] = s であるような体とする。すなわち F 上のベクトル空間 Fs の次元は s である。

α {\displaystyle \alpha } を F s {\displaystyle F_{s}} のある元とする。

χ {\displaystyle \chi } を F から複素数への乗法的指標 (数学)とする。

N F s / F ( α ) {\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha )} を、 F s {\displaystyle F_{s}} から F {\displaystyle F} へのノルムで、次で定められるものとする。

N F s / F ( α ) := α ⋅ α q ⋯ α q s − 1 . {\displaystyle N_{F_{s}/F}(\alpha ):=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdots \alpha ^{q^{s-1}}.\,}

今 χ ′ {\displaystyle \chi '} を F s {\displaystyle F_{s}} 上の乗法的指標で、 χ {\displaystyle \chi } と、Fs から F へのノルムの合成で与えられるものとする。すなわち

χ ′ ( α ) := χ ( N F s / F ( α ) ) {\displaystyle \chi '(\alpha ):=\chi (N_{F_{s}/F}(\alpha ))}

とする。

ψ をある非自明な F の加法的指標とし、 ψ ′ {\displaystyle \psi '} を ψ {\displaystyle \psi } と、Fs から F への跡の合成であるような F s {\displaystyle F_{s}} 上の加法的指標とする。すなわち

ψ ′ ( α ) := ψ ( T r F s / F ( α ) ) {\displaystyle \psi '(\alpha ):=\psi (Tr_{F_{s}/F}(\alpha ))}

とする。

今

τ ( χ , ψ ) = ∑ x ∈ F χ ( x ) ψ ( x ) {\displaystyle \tau (\chi ,\psi )=\sum _{x\in F}\chi (x)\psi (x)}

を F 上のガウス和とし、 τ ( χ ′ , ψ ′ ) {\displaystyle \tau (\chi ',\psi ')} を F s {\displaystyle F_{s}} 上のガウス和とする。

このとき、ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式は次で与えられる。

( − 1 ) s ⋅ τ ( χ , ψ ) s = − τ ( χ ′ , ψ ′ ) . {\displaystyle (-1)^{s}\cdot \tau (\chi ,\psi )^{s}=-\tau (\chi ',\psi ').}

ハッセ＝ダベンポートの積の関係式

ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は次で与えられる。

∏ a mod m τ ( χ ρ a , ψ ) = − χ − m ( m ) τ ( χ m , ψ ) ∏ a mod m τ ( ρ a , ψ ) . {\displaystyle \prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\chi \rho ^{a},\psi )=-\chi ^{-m}(m)\tau (\chi ^{m},\psi )\prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\rho ^{a},\psi ).}

ただし ρ は q–1 を割る exact 位数が m の乗法的指標であり、χ を任意の乗法的指標、ψ はある非自明な加法的指標である。

参考文献

  • Davenport, Harold; Hasse, Helmut (1935), “Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (On the zeros of the congruence zeta-functions in some cyclic cases)” (German), Journal für Reine und Angewandte Mathematik 172: 151–182, ISSN 0075-4102, Zbl 0010.33803, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002173123 
  • Gross, Benedict H.; Koblitz, Neal (1979), “Gauss sums and the p-adic Γ-function”, Annals of Mathematics. Second Series 109 (3): 569–581, doi:10.2307/1971226, ISSN 0003-486X, MR534763, https://doi.org/10.2307/1971226 
  • Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer. pp. 158–162. ISBN 0-387-97329-X 
  • Weil, André (1949), “Numbers of solutions of equations in finite fields”, Bulletin of the American Mathematical Society 55 (5): 497–508, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4, ISSN 0002-9904, MR0029393, http://www.ams.org/bull/1949-55-05/S0002-9904-1949-09219-4/home.html  Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5