x'' + sin x = 0 の相図(phase portrait)。赤いラインが(x, x') = (−π, 0) から(x, x') = (π, 0)へのヘテロクリニック軌道。この軌道は、(紐ではない、固くて軽い棒で出来た)振り子が、無限の時間をかけて動きだし、一周して無限の時間をかけて止まる軌道を表している。 力学系において、ヘテロクリニック軌道とは、二つの不動点をつなぐ解軌道である。 同じ不動点の場合は、ホモクリニック軌道である。
微分方程式系での定義
![{\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7f65625cd307b49a27e6dc76a4f47412d88825)
で定義された連続力学系を考える。
と
が不動点であり、解
が次を満たすならば、ヘテロクリニック軌道である。
![{\displaystyle \phi (t)\rightarrow x_{0}\quad \mathrm {as} \quad t\rightarrow -\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d5fccef4c9d7d36e17cc5aabf6675ca52bb71d)
かつ
![{\displaystyle \phi (t)\rightarrow x_{1}\quad \mathrm {as} \quad t\rightarrow +\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2139bb271c99614363fc0eb84fd29b06265d95e)
これは、解軌道が
の安定多様体と
の不安定多様体に吹き生まれることを意味している。
関連項目