ミンコフスキー距離

「ミンコフスキー空間」とは異なります。

ミンコフスキー距離とは、ノルム線型空間における距離計量で、ユークリッド距離およびマンハッタン距離を一般化したものと言える。ドイツの数学者ヘルマン・ミンコフスキーにちなんで名付けられた。

ミンコフスキー距離の次数を「${\displaystyle p}$ (ただし、${\displaystyle p}$は整数)」とした時、点${\displaystyle X}$と点${\displaystyle Y}$（ただし、${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$および${\displaystyle Y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$）の距離は、以下のように定義される。

${\displaystyle D\left(X,Y\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

${\displaystyle p\geq 1}$の場合においては、ミンコフスキー距離はミンコフスキーの不等式の結果を満たす距離計量となる。もし${\displaystyle p<1}$だった場合、点(0,0)と点(1,1)の間の距離は${\displaystyle 2^{1/p}>2}$となるが、双方の点と点(0,1)との間の距離は1となる。これは三角不等式に反するので、${\displaystyle p<1}$の時は距離計量にはならない。しかし、このような距離計量は、単に${\displaystyle 1/p}$という冪指数を除去するだけで得られる。この距離計量は同時にF-ノルムでもある。

ミンコフスキー距離は通常、${\displaystyle p}$が1または2の場合が用いられ、これはそれぞれマンハッタン距離とユークリッド距離に対応する。特殊な場合であるが、${\displaystyle p}$が無限に発散する場合はチェビシェフ距離が得られる。

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.\,}$

同様に、${\displaystyle p}$が負の無限大に発散する場合は、このような式になる。:

${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.\,}$

ミンコフスキー距離は、点Pと点Qの間の成分ごとの差の累乗平均の倍数と見なすこともできる。

以下の図は、${\displaystyle p}$の値を様々に変化させた時の単位円（中心から等しい距離にある全ての点の集合）を示している。

• Lp空間
• 一般化平均
• p-ノルム

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