数学におけるメリン変換(メリンへんかん、英: Mellin transform)とは、両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換である。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。
この変換の名はフィンランドの数学者ヒャルマル・メリン(英語版)の名にちなむ。
定義
局所可積分な関数 f のメリン変換は
![{\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d7390fb7cebfd098aecbb105aaa0634b7474253)
により定義される。 任意の小さな正の数
に対して、
のとき
、
のとき
と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、
は
で解析的な関数となる。
また、メリン逆変換は
![{\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1d788c032084cb60e9de97421060cd35d0ff08)
により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 c は
を満たす任意の実数である。 このような逆が存在するための条件は、メリン逆定理(英語版)で与えられている。
他の変換との関係
両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて
![{\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14342b557f1a61c10adeeafb3111a7ed48e5c1e6)
と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により
![{\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058701ae1217a6c8cdafa7f55d46a1e1795b4c09)
と表される。
メリン変換は、積分核 xs を用いた、乗法的ハール測度
についての積分と考えることが出来る。ここで
は拡張
について不変であり、したがって
が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度
についての積分と考えられる。ここで
は移動不変であり、したがって
が成り立つ。
同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、
![{\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(is)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1764bca9688639595d7f01c9868088f7534310bd)
が成立する。反対に
![{\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc7aa4fe680aebeb3ea9ee2542b351d55fccf10)
も成立する。メリン変換はまた、ニュートン級数(英語版)や二項変換(英語版)を、ポアソン-メリン-ニュートン・サイクル(英語版)の意味におけるポアソン母関数と結び付ける。
例
カヘン-メリン積分
、
および主枝(英語版)上の
に対して、
![{\displaystyle e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4657eb2855755d10b52c680d8e8b0f4070e8ffe)
が成立する。ここで
はガンマ関数である。この積分はカヘン-メリン積分として知られている[1]。
数論
数論における重要な応用例として、単関数
に対し
![{\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)={\frac {1}{s+a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6a35113f0c8927d4b18b4484cb7a527945fa75)
が成立する、ということが挙げられる。
ゼータ関数
メリン変換を用いることで、リーマンゼータ関数
についての公式を得ることができる。
としたとき
よって
L2 上のユニタリ作用素として
ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。
(Lp空間を参照されたい)の関数に対して、基本帯(fundamental strip)は常に
を含む。そのため、線形作用素
を
![{\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5dcc5455ee4b6bda0c7f47c04bf7c339510763)
によって定義することが出来る。言い換えると、集合
![{\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}-is)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ff7eb7974c67ef6c40fd544e7ae21859b4d336)
を定義することが出来る。この作用素は通常
とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために
を記号として用いる。このときメリン逆定理(英語版)により、
は可逆であって、その逆は
![{\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7227a3d934203b9e45a0fa946340010dcb239ef0)
と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち
がすべての
に対して成立することが分かる(この性質のために係数
が用いられている)。したがって、
はユニタリ作用素である。
確率論において
確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる[2]。X を確率変数とし、X+ = max{X,0} をその正の部分、X − = max{−X,0} をその負の部分としたとき、X のメリン変換は
![{\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+\gamma \int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393561cb84d8b9dc9f686f3fc6e88f8da54a1b36)
として定義される[3]。ここで γ は、γ2 = 1 を満たすもの(formal indeterminate)である。この変換は、複素帯領域 D = {s: a ≤ Re(s) ≤ b}(ただしa ≤ 0 ≤ b)内のすべての s に対して存在する[3]。
確率変数 X のメリン変換
は、その分布関数 FX を一意に定める[3]。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: X および Y を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい[4]。すなわち、
![{\displaystyle {\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862faae4e48676ca05bf765634eab65ab2f16c28)
が成立する。
応用
メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。
この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。
その他の例
関連項目
注釈
- ^ Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1916). “Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes”. Acta Mathematica 41 (1): 119–196. doi:10.1007/BF02422942. (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)
- ^ Galambos & Simonelli (2004, p. 15)
- ^ a b c Galambos & Simonelli (2004, p. 16)
- ^ Galambos & Simonelli (2004, p. 23)
参考文献
- Galambos, Janos; Simonelli, Italo (2004). Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc.. ISBN 0-8247-5402-6
- Paris, R. B.; Kaminski, D. (2001). Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Cambridge University Press
- Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998). Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4
- Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). “Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums”. Theoretical Computer Science 144 (1-2): 3–58.
- Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Weisstein, Eric W. "Mellin Transform". mathworld.wolfram.com (英語).
外部リンク
- Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.
- Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas
- Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas (in Spanish).
- Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
- Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX