ヤングの畳み込み不等式

数学におけるヤングの畳み込み不等式（ヤングのたたみこみふとうしき、英: Young's convolution inequality）は、ウィリアム・ヘンリー・ヤング（英語版）に名を因む、ふたつの函数の畳み込みに関する不等式である^[1]。

実解析において、ヤングの畳み込み不等式^{[2](Theorem 3.9.4)}は以下のようなものである:

定理 (Young's convolution inequality)

f ∈ L^p(ℝ^d), g ∈ L^q(ℝ^d) で $${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1\qquad (1\leq p,q,r\leq \infty )}$$ が満たされるならば、不等式 $${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$$ が成り立つ。ここに、左辺の ∗ は畳み込みで、L^p はルベーグ p-乗可積分函数の空間および $${\displaystyle \|f\|_{p}:={\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}{\mathit {dx}}{\Bigr )}^{1/p}}$$ は L^p-ノルムである。

おなじことだが、以下のように述べることもできる:

p, q, r ≥ 1 が ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ を満たすならば $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y){\mathit {dx}}\,{\mathit {dy}}\leq {\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}{\Bigr )}^{1/p}{\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}{\Bigr )}^{1/q}{\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}{\Bigr )}^{1/r}}$$ が成り立つ。

一般化

ヤングの畳み込み不等式は、ℝ^d を単模群 G に取り換えた自然な一般化ができる。G 上の両側ハール測度を μ とすれば μ に関する積分が定義できて、G 上の実または複素数値函数 f, g に対して $${\displaystyle f*g(x):=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,{\mathit {d\mu }}(y)}$$ および $${\displaystyle \|f\|_{p}:={\Bigl (}\int _{G}|f(x)|^{p}\,{\mathit {d\mu }}(x){\Bigr )}^{1/p}}$$ と定めれば、f ∈ L^p(G, μ), g ∈ L^q(G, μ) に対して、件の不等式 $${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$$ はそのままの形で成り立つ（もちろん、${\textstyle \int _{G\times G}f(x)g(x-y)h(y){\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y)\leq (\int _{G}\vert f\vert ^{p})^{1/p}(\int _{G}\vert g\vert ^{q})^{1/q}(\int _{G}\vert h\vert ^{r})^{1/r}}$ とも書ける）。

事実として、ℝ^d は局所コンパクトアーベル群（英語版）、したがって単模であり、ルベーグ測度がそのハール測度を与えるから、事実これは先の不等式を一般化するものである。

p, q > 1 の場合、ヤングの不等式はより強く、適当な定数 c_p,q < 1 を含む $${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq c_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q}}$$ の形のより厳密な評価にすることができる^[3][4][5]。この最適化定数が達成されるとき、函数 f, g は高次元ガウス函数（英語版） である。

最適化定数 1 のヤングの不等式には、初等的な証明がある^[6]。

位相群の不変積分版の証明を以下に示す:

ヤングの不等式の応用の一つの例が、L²-ノルムを用いて 熱半群（英語版）が縮小半群である（つまり、ヴァイヤシュトラス変換が L²-ノルムを大きくしない）ことを示すことである。

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