ルジャンドルの微分方程式(るじゃんどるのびぶんほうていしき)とは、アドリアン=マリ・ルジャンドルにその名をちなむ、以下の形の常微分方程式の事である[1][2]。
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right)y'\right]+\nu (\nu +1)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddaa6e9a73caeb0abb15e014ba7eb9faf517a67)
これはガウスの微分方程式において、α = ν + 1, β = -ν, γ = 1 と選び、x → (1-x)/2 と置き換えた場合と同じである[1]。
この解は偶関数と奇関数になる事が知られていて、それぞれ以下のようになる。
![{\displaystyle y_{e}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}\left(-{\frac {\nu }{2}}\right)_{n}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)_{n}x^{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9668e6c1b37749fcee80cf12f285b28ad1611804)
![{\displaystyle y_{o}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}}{(2n+1)!}}\left({\frac {1-\nu }{2}}\right)_{n}\left(1+{\frac {\nu }{2}}\right)_{n}x^{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b781570e3175288f604764e3595a05e94585a08f)
また特別なケースとして ν = 0, 1, 2, ... の場合に解は ν 次多項式となる。この多項式のことをルジャンドルの多項式と呼ぶ[1][2]。
出典
- ^ a b c 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版。
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Legendre Differential Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferentialEquation.html
関連項目