レヴィ=チヴィタ変換 (レヴィ=チヴィタへんかん, Levi-Civita transformation[1] ) とは、平面ケプラー問題 の運動方程式 の特異性を除去し正則化する変換のこと[2] 。トゥーリオ・レヴィ=チヴィタ がその理論を発展させた[3] [4] [5] [6] 。三次元ケプラー問題の正則化はこれを拡張したクスターンヘイモ・シュティーフェル変換によって実現される[7] 。
定義 2次元ケプラー問題 のハミルトニアン は、 p = ( p 1 , p 2 ) {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2})} を運動量、 q = ( q 1 , q 2 ) {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2})} を座標とするとき
H ( p , q ) = 1 2 ( p 1 2 + p 2 2 ) − μ q 1 2 + q 2 2 {\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}+p_{2}^{2})-{\frac {\mu }{\sqrt {q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}} により与えられる。対応する運動方程式は
d q j d t = p j , d p j d t = − μ q j ( q 1 2 + q 2 2 ) 3 / 2 , ( j = 1 , 2 ) {\displaystyle {\frac {dq_{j}}{dt}}=p_{j},\ \ {\frac {dp_{j}}{dt}}=-{\frac {\mu q_{j}}{(q_{1}^{2}+q_{2}^{2})^{3/2}}},\ \ (j=1,2)} である。この方程式は重力源からの距離 r = q 1 2 + q 2 2 {\displaystyle r={\sqrt {q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}} がゼロの極限で発散する特異性がある。Levi-Civita変換はこの特異性を除去するような変数変換である。
ステップ1: 正準変換 この系に次の母関数 W ( p , Q ) {\displaystyle W(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} )} によって生成される正準変換 ( p , q ) ↦ ( P , Q ) {\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\mapsto (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )} を施す[8] 。
W ( p , Q ) = p 1 ( Q 1 2 + Q 2 2 ) + 2 p 2 Q 1 Q 2 {\displaystyle W(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} )=p_{1}(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})+2p_{2}Q_{1}Q_{2}} この正準変換は具体的に次のように表示できる。
( q 1 q 2 ) = ( Q 1 − Q 2 Q 2 Q 1 ) ( Q 1 Q 2 ) , ( p 1 p 2 ) = 1 4 ( Q 1 2 + Q 2 2 ) ( 2 Q 1 − 2 Q 2 2 Q 2 2 Q 1 ) ( P 1 P 2 ) , {\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Q_{1}&-Q_{2}\\Q_{2}&Q_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{pmatrix}},\ \ {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{4(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})}}{\begin{pmatrix}2Q_{1}&-2Q_{2}\\2Q_{2}&2Q_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{1}\\P_{2}\end{pmatrix}},\ \ } 次節でこの変換の詳細な性質について見るが、ここでは q 1 2 + q 2 2 = Q 1 2 + Q 2 2 {\displaystyle {\sqrt {q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}=Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}} が成立することを指摘しておく。さて、 D := 4 ( Q 1 2 + Q 2 2 ) {\displaystyle D:=4(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})} とおくとき、変換後のハミルトニアン H ~ ( P , Q ) = H ( p ( P , Q ) , q ( P , Q ) ) {\displaystyle {\tilde {H}}(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )=H(\mathbf {p} (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ),\mathbf {q} (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ))} は
H ~ ( P , Q ) = 1 2 D ( P 1 2 + P 2 2 ) − μ Q 1 2 + Q 2 2 {\displaystyle {\tilde {H}}(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2D}}(P_{1}^{2}+P_{2}^{2})-{\frac {\mu }{Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}}}} であり、運動方程式は
d Q j d t = P j D , d P j d t = 4 D 2 ( P 1 2 + P 2 2 − 8 μ ) Q j {\displaystyle {\frac {dQ_{j}}{dt}}={\frac {P_{j}}{D}},\ \ {\frac {dP_{j}}{dt}}={\frac {4}{D^{2}}}(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}-8\mu )Q_{j}} となる[9] 。この段階ではまだ r → 0 {\displaystyle r\to 0} での特異性が残っている。
ステップ2: 時間変数の変換 Levi-Civita変換では物理的な時間 t {\displaystyle t} の代わりにfictitious time s {\displaystyle s} を独立変数として扱う。その定義は
d t = D ( Q 1 , Q 2 ) d s {\displaystyle dt=D(Q_{1},Q_{2})ds} である[10] 。この変換を行うと、上の正準方程式は
d Q j d s = P j , d P j d s = 8 H ~ ( P , Q ) Q j , d t d s = D {\displaystyle {\frac {dQ_{j}}{ds}}=P_{j},\ \ {\frac {dP_{j}}{ds}}=8{\tilde {H}}(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )Q_{j},\ \ {\frac {dt}{ds}}=D} という方程式系へと変換される。これは極限 r = Q 1 2 + Q 2 2 → 0 {\displaystyle r=Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}\to 0} での特異性を持たない。さらに H ~ {\displaystyle {\tilde {H}}} が保存量であることから、それが負の値を取る束縛軌道に関しては、これは角振動数 ω = − 8 H ~ {\displaystyle \omega ={\sqrt {-8{\tilde {H}}}}} の調和振動子 の方程式に等しい。
なお、この運動方程式は形式的に ( P , Q ; T , t ) {\displaystyle (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ;T,t)} を正準変数とするハミルトニアン
Γ = 1 2 ( P 1 2 + P 2 2 ) + 4 T ( Q 1 2 + Q 2 2 ) − 4 μ {\displaystyle \Gamma ={\frac {1}{2}}(P_{1}^{2}+P_{2}^{2})+4T(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})-4\mu } に対応する正準方程式に ( T {\displaystyle T} はもとのハミルトニアン H ~ {\displaystyle {\tilde {H}}} の符号を反転させたものと解釈するとき) 一致する[11] 。
変換の性質 座標変数 Q j {\displaystyle Q_{j}} ケプラー運動 (離心率 e =0, 0.5, 0.95) を物理空間およびLevi-Civita変換によるパラメータ空間でアニメーションにしたもの。物理空間では楕円を描くが、Levi-Civita変数では調和振動子 と同じリサジュー図形 となる。 Levi-Civita変換による座標の変換 ( q 1 , q 2 ) ↦ ( Q 1 , Q 2 ) {\displaystyle (q_{1},q_{2})\mapsto (Q_{1},Q_{2})} について、その定義は
{ q 1 = Q 1 2 − Q 2 2 q 2 = 2 Q 1 Q 2 {\displaystyle {\begin{cases}q_{1}&=Q_{1}^{2}-Q_{2}^{2}\\q_{2}&=2Q_{1}Q_{2}\end{cases}}} であった。あるいは、行列表記ではこの変換は次のように書ける。
( q 1 q 2 ) = ( Q 1 − Q 2 Q 2 Q 1 ) ( Q 1 Q 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Q_{1}&-Q_{2}\\Q_{2}&Q_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{pmatrix}}} この変換は、虚数単位 i {\displaystyle i} を導入すると、次の簡単な等式に書き直すことができる[12] 。
q 1 + i q 2 = ( Q 1 + i Q 2 ) 2 {\displaystyle q_{1}+iq_{2}=(Q_{1}+iQ_{2})^{2}} このことは、もとの空間で座標原点 ( r = 0 {\displaystyle r=0} ) まわりに一周する ( θ = 0 {\displaystyle \theta =0} から θ = 2 π {\displaystyle \theta =2\pi } まで変化する) とき、それはLevi-Civita変数の空間を半周すること ( ψ = 0 → π {\displaystyle \psi =0\rightarrow \pi } ) を意味する。従ってひとつの ( q 1 , q 2 ) {\displaystyle (q_{1},q_{2})} -平面の点は ( Q 1 , Q 2 ) {\displaystyle (Q_{1},Q_{2})} -平面のふたつの点(原点に関して対称な二点)に対応することになる。
fictitious time s {\displaystyle s} fictitious time s {\displaystyle s} は、離心近点角 E {\displaystyle E} と E = 2 ω s {\displaystyle E=2\omega s} という関係にある[13] 。
応用
ピタゴラス三体問題 三体問題 の特別な初期条件のもとでの系の進化を問うピタゴラス三体問題 は、系が最終状態に落ち着くまでに二体の近接散乱が繰り返される。SzebehelyとPetersが1967年にこの問題の数値シミュレーションを行った際には、計算精度が落ちるのを防ぐため、また計算時間を削減するために、近接散乱が発生する度にLevi-Civita変換を適用し、信頼できる解を得た[14] 。
脚注 ^ Celletti, p. 207. ^ 『レビー-チビタ変換』 - 天文学辞典(日本天文学会 ) ^ Levi-Civita, T. (1903). Annal. Mat. Pura Appl. 9 (3): 1-32. ^ Levi-Civita, T. (1904). Ann. Mat. Ser. 3 : 9. ^ Levi-Civita, T. (1906). “Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps”. Acta Math. 30 : 305-327. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887161 . ^ T., Levi-Civita (1920). “Sur la régularisation du problème des trois corps”. Acta Math. 42 : 99-144. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887516 . ^ Kustaanheimo, P.; Stiefel, E. (1965). “Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization”. J. Reine Angew. Math. 218 : 204. doi:10.1515/crll.1965.218.204. ^ Celletti, pp. 207-208. ^ Celletti, pp. 208-209. ^ Celletti, pp. 209-211. ^ Celletti, p. 210. ^ Celletti, p. 208. ^ Alessandra Celletti. “Basics of regularization theory”. 2020年8月19日 閲覧。 ^ Szebehely, Victor; Peters, C. Frederick (1967). “Complete solution of a general problem of three bodies”. The Astronomical Journal 72 : 876. Bibcode: 1967AJ.....72..876S.
参考文献 Alessandra Celletti. Stability and Chaos in Celestial Mechanics . Springer. pp. 207-214. doi:10.1007/978-3-540-85146-2. ISBN 978-3-540-85145-5 Nastasi, Pietro; Tazzioli, Rossana (2005). “Toward a scientific and personal biography of Tullio Levi-Civita (1873–1941)”. Historia Mathematica 32 (2): 203-236. doi:10.1016/j.hm.2004.03.003. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086004000229 . Mikkola, S.. “A Brief History of Regularisation”. IAU Symposium 246 : 218-227. Bibcode: 2008IAUS..246..218M. doi:10.1017/S1743921308015639.
関連項目