一様コーシー列

数学において、ある集合 S から距離空間 M への函数 { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} 一様コーシー(いちようコーシー、: uniformly Cauchy)であるとは、次が成立することをいう:

  • すべての ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} に対して、ある N > 0 {\displaystyle N>0} が存在し、 m , n > N {\displaystyle m,n>N} であるならばすべての x S {\displaystyle x\in S} に対して d ( f n ( x ) , f m ( x ) ) < ε {\displaystyle d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon } が成立する。

また別の表現として、 m , n {\displaystyle m,n\to \infty } に対して d u ( f n , f m ) 0 {\displaystyle d_{u}(f_{n},f_{m})\to 0} というものがある。ここで d u {\displaystyle d_{u}} は二つの函数の間の一様距離で、次のように定義される:

d u ( f , g ) := sup x S d ( f ( x ) , g ( x ) ) . {\displaystyle d_{u}(f,g):=\sup _{x\in S}d(f(x),g(x)).}

収束条件

S から M への函数列 {fn} が「各点毎に」コーシーであるとは、各 xS に対して列 {fn(x)} が M 内のコーシー列であることをいう。これは一様コーシーよりも弱い条件である。

一般に、列は、各点毎にコーシーであっても各点毎に収束するとは限らず、また一様コーシーであっても一様収束するとは限らない。しかし、距離空間 M完備であるなら、各点毎にコーシーであるような任意の列は、S から M へのある函数に各点毎に収束する。また同様に、任意の一様コーシー列はそのような函数に一様収束する。

一様コーシー性は、S が只の集合ではなく位相空間であり、M が完備距離空間である場合にも頻繁に用いられる。次の定理が成り立つ:

  • S を位相空間とし、M を完備距離空間とする。このとき、連続函数 fn : SM からなる任意の一様コーシー列は、唯一つの連続函数 f : SM に一様収束する。

一様空間への一般化

ある集合 S から距離空間 U への函数列 { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} 一様コーシーであるとは、次が成り立つことをいう:

  • すべての x S {\displaystyle x\in S} と任意の近縁 ε {\displaystyle \varepsilon } に対して、ある N > 0 {\displaystyle N>0} が存在し、 m , n > N {\displaystyle m,n>N} であるなら d ( f n ( x ) , f m ( x ) ) < ε {\displaystyle d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon } が常に成り立つ。

関連項目

  • 収束の様式(英語版)
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