確率分布の族における再生性(さいせいせい、英: reproductive property)とは、同じ分布族に含まれる確率分布を持つ2つの独立な確率変数に対して、その和の確率分布もまた同じ族に含まれる性質のことを言う。
定義
分布族
を考える。
任意の確率分布
に対して、Fiに従う互いに独立な確率変数をXiとおく (
) 。これを
と書く(以下同様)。
このとき、
の確率分布Fが
を満たすならば、分布族
は再生性を持つという。
ある分布族が再生性を持つということは、その分布族が畳み込み演算について閉じていることを意味する。
再生性を持つ分布族
以下で用いられる2つの確率変数 X1, X2 は互いに独立であると仮定する。
- 正規分布
![{\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{N}}(\mu _{i},\ \sigma _{i}^{2})\ (i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\ \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b334bf285da0831ca6bdc0fe077982937edeae1)
- コーシー分布
- コーシー分布に従う2つの確率変数の和は、再びコーシー分布に従う。
- ガンマ分布
![{\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{Gamma}}(k_{i},\theta )\ (i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{Gamma}}(k_{1}+k_{2},\ \theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f778ddc6a319cc1ad95a42c4c18dfbba3a133c)
- 尺度母数 θ が異なる場合は当てはまらない。
- 特に k1, k2 が整数である場合はアーラン分布を表し、このことからアーラン分布も再生性を持つことが分かる。同様に、k1, k2 が半整数である場合はカイ二乗分布に相当し、同様に再生性を持つ。
- 二項分布
![{\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{B}}(n_{i},p)\ (i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{B}}(n_{1}+n_{2},\ p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b8ba88ca0d08152d288375fdc851b4a34e619b)
- 確率 p が異なる場合は当てはまらない。
- 負の二項分布
![{\displaystyle X_{i}\thicksim {\mbox{NB}}(\alpha _{i},p)(i=1,2)\longrightarrow X_{1}+X_{2}\thicksim {\mbox{NB}}(\alpha _{1}+\alpha _{2},p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9dea0c82b0e345fb41769bc124e724dd3c8a5c)
- 確率 p が異なる場合は当てはまらない。
- ポアソン分布
![{\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{Po}}(\lambda _{i})\ (i=1,2)\ \longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim {\mbox{Po}}(\lambda _{1}+\lambda _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ebac289cacde68d2619547a5d490955217a7e6)
- カイ二乗分布
![{\displaystyle X_{1}\sim \chi _{n}^{2},X_{2}\sim \chi _{m}^{2}\ (n,m\in \mathbb {N} )\ \longrightarrow X_{1}+X_{2}\sim \chi _{n+m}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847c5ba872a4ec930191a192c330217eedbcdc0e)
関連項目