多項係数

パスカルの三角錐を5段目まで描いたもの。側面（橙色の格子）は何れもパスカルの三角形になっている。矢印は、1つ上の段から和を取ることを表している。

数学における多項係数（たこうけいすう、英: Multinomial coefficient）は二項係数を一般化したものである。

定義

非負整数列 k1, k2, …, kr および n = k1 + k2 + … + kr に対して、多項係数が定義される。

多項係数を直接表示すると

( n k 1 , k 2 , … , k r ) := n ! k 1 ! ⋯ k r ! {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{r}}}:={\frac {n!}{k_{1}!\dotsm k_{r}!}}}

となる。ここに x! は x の階乗を表す。

多項係数は帰納的に表すこともできる：

( n k 1 , ⋯ , k r ) := ( n − 1 k 1 − 1 , k 2 , ⋯ , k r ) + ⋯ + ( n − 1 k 1 , ⋯ , k r − 1 , k r − 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\cdots ,k_{r}}}:={\binom {n-1}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{r}}}+\cdots +{\binom {n-1}{k_{1},\cdots ,k_{r-1},k_{r}-1}}}

多項係数は整数となる。したがって、多項係数を規則的に並べていくと r-単体となる（パスカルの単体。r = 3 のときについてはパスカルの三角錐（英語版）を参照）。

多項係数は二項係数を用いて

( k 1 + k 2 + ⋯ + k r k r ) ( k 1 + k 2 + ⋯ + k r − 1 k r − 1 ) ⋯ ( k 1 k 1 ) = ∏ i = 1 r ( ∑ s = 1 i k s k i ) {\displaystyle {\binom {k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{r}}{k_{r}}}{\binom {k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{r-1}}{k_{r-1}}}\cdots {\binom {k_{1}}{k_{1}}}=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}{\dbinom {\sum \limits _{s=1}^{i}k_{s}}{k_{i}}}}

と表すこともできる。

応用と解釈

多項定理

詳細は「多項定理」を参照

二項定理の拡張である、多項定理と呼ばれる等式

( x 1 + ⋯ + x r ) n = ∑ k 1 + ⋯ + k r = n ( n k 1 , … , k r ) ⋅ x 1 k 1 ⋯ x r k r {\displaystyle (x_{1}+\dotsb +x_{r})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}\cdot {x_{1}}^{k_{1}}\dotsm {x_{r}}^{k_{r}}}

が成立する。特に x1 = x2 = … = xr = 1 と置くことにより

r n = ∑ k 1 + ⋯ + k r = n ( n k 1 , … , k r ) {\displaystyle r^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}}

が得られる。

多項分布

多項係数の応用として、多項分布

P ( X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , … , X r = k r ) = ( n k 1 , … , k r ) ⋅ p 1 k 1 ⋅ p 2 k 2 ⋯ p r k r {\displaystyle P(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2},\dotsc ,X_{r}=k_{r})={\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{r}}}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot {p_{2}}^{k_{2}}\dotsm {p_{r}}^{k_{r}}}

は離散確率変数に関する確率分布である。

組合せ論的解釈

組み分け問題

多項係数 (n
k1, k2, …, kr) は n 個の対象を r 個の区別のつく箱に分けて入れるとき、各 i 番目の箱に ki 個だけの対象が含まれるように入れる方法の総数である。

重複置換の問題

多項係数 (n
k1,k2,…,kr) は、1 ≤ i ≤ r に対して各々ちょうど ki 個の区別不能な対象が含まれる n 個の対象の置換の総数にも等しい。

例
問い. MISSISSIPPI の文字を並べ替えて得られる「語」は相異なるものが全部でいくつあるか？

この11文字の並べ替えの総数を数える必要があるが、一種類目の文字 M が 1 個 (k1 = 1), 二種類目の文字 I が 4 個 (k2 = 4), 三種類目の文字 S が 4 個 (k3 = 4), 残りは P が 2 個 (k4 = 2) であるから、多項係数

( 11 1 , 4 , 4 , 2 ) = 11 ! 1 ! ⋅ 4 ! ⋅ 4 ! ⋅ 2 ! = 34650 {\displaystyle {\binom {11}{1,4,4,2}}={\frac {11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!}}=34650}

が答えを与える。これと対照的に、もし11文字全てが区別可能であったならば、その総数は 11! = 39,916,800 とずっと多くなる。

パスカルの単体

二項係数に対するパスカルの三角形の類似対応物として、r-変数の多項係数にも幾何学的な図形（単体）が対応し、パスカルの r-単体と呼ばれる。r = 3 のときは特に、三項係数（ドイツ語版）に対するパスカルの三角錐（英語版）と呼ばれる。

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Multinominal Coefficient". mathworld.wolfram.com (英語).