射影的対象

圏論において，射影的対象（しゃえいてきたいしょう，英: projective object）の概念は射影的加群の概念を一般化する．

圏 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ の対象 P が射影的とは，hom関手

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

が全射を保つことをいう．つまり，任意の射 ${\displaystyle f\colon P\to X}$ は任意の全射 Y → X を通して分解する．

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ をアーベル圏とする．この文脈では，対象 ${\displaystyle P\in {\mathcal {C}}}$ が射影的対象であるとは，

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab} }$

が完全関手であることをいう．ただし ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ はアーベル群の圏である．

射影的対象の双対概念は単射的対象の概念である：アーベル圏 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ の対象 Q が単射的であるとは，${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ から ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ への関手 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,Q)}$ が完全であることをいう．

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ をアーベル圏とする．${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ が充分射影的対象をもつ（Have Enough Projectives）とは，${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ の任意の対象 A に対して，${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ の射影的対象 P と完全列

${\displaystyle P\longrightarrow A\longrightarrow 0}$

が存在することをいう．言い換えると，射 p: P → A は全射である．

R を 1 をもつ環とする．左 R 加群の圏 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}}$ を考える．${\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}}$ はアーベル圏である．${\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}}$ における射影的対象はちょうど射影左 R 加群である．なので R はそれ自身 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}}$ の射影的対象である．双対的に，${\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}}$ における単射的対象はちょうど単射的左 R 加群である．

左（右）R 加群の圏は充分射影的対象を持つ．なぜならば，任意の左（右）R 加群 M に対して，F として M の生成集合 X（M でよい）によって生成される自由（したがって射影）R 加群をとることができるからである．すると 標準射影 π: F → M が所望の全射である．

• Mitchell, Barry (1965), Theory of categories, Pure and applied mathematics, 17, Academic Press, ISBN 978-0-124-99250-4, MR0202787 

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