平行移動

リーマン幾何学における平行移動 (parallel transport)については「平行移動 (リーマン幾何学)」をご覧ください。

ユークリッド幾何学における平行移動（へいこういどう、英: translation, parallel translation, parallel displacement）とは、すべての点を一定の方向に一定の距離だけ動かす変換である。

平行移動は並進^[1]あるいは並進運動 (translational motion) とも呼ばれる。

平行移動は向きや距離・角度を保ち、非自明なものは不動点を持たない。

一次元の場合、平行移動 T は定数 a を用いて

T(x) = x + a

と表せる。

平行移動は各点に定ベクトルを加える操作として解釈することや、座標系の原点をずらす操作として解釈することもできる。定ベクトル v に対して、v に対応する平行移動 T_v は、点 P(p) を v だけ動かす写像

T_v(p) = p + v

として働く。

平行移動は二つの図形の間の一対一対応や、ある平面から別の平面への写像とみることもできる^[2]。T が平行移動であるとき、部分集合 A の写像 T による像を、A の T による平行移動と呼ぶ。T が定ベクトル v に対応する平行移動 T_v であるとき、A の T_v による平行移動はしばしば A + v と書かれる。

平行移動を剛体運動として記述することもできる（平行移動の他には回転と鏡映）。n-次元ユークリッド空間において任意の平行移動は等距変換である。平行移動全体の成す集合は平行移動群 T(n) を成す。この群はもとの空間（の加法群）と同型であり、ユークリッド群 E(n) の正規部分群である。E(n) の T(n) による剰余群は直交群 O(n) に同型:

E(n)/T(n) ≅ O(n)

である。

ベクトル変数の写像 f(v) に作用する、定ベクトル δ に対応する平行移動作用素 T_δ は

${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )}$

で定義される作用素を言う。

非自明な平行移動は不動点を持たないアフィン変換である。一方、行列の積は必ず原点を固定する。 にも拘らず、ベクトル空間の平行移動を行列で表すことが、斉次座標系（英語版）を用いた回避方法によって一般に行われる。

例えば三次元の場合において、ベクトル w = (w_x, w_y, w_z) は四成分の斉次座標 w = (w_x, w_y, w_z, 1)で表せる^[3]。

各点を斉次座標で書いた斉次ベクトル p を、定ベクトル v だけ平行移動させるには、平行移動行列

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

を掛ければよい。実際、以下に見るように掛けた結果

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

は所期のものであることが確認できる。平行移動行列の逆行列は、ベクトルの向きを逆にすればよいから、

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }}$

で与えられる。同様に、平行移動行列の積は、ベクトルの和に対する平行移動

${\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }}$

になる。ベクトルの和は可換であるから、平行移動行列同士の積もそうである（任意の行列の積が非可換であるのとは異なる）。

物理学における平行移動は並進運動とも呼ばれ、物体の位置を変える運動である（回転運動に対照する）。例えば Whittaker (1988, p. 1) によれば、

If a body is moved from one position to another, and if the lines joining the initial and final points of each of the points of the body are a set of parallel straight lines of length ℓ, so that the orientation of the body in space is unaltered, the displacement is called a translation parallel to the direction of the lines, through a distance ℓ. （剛体がある位置から別な位置へ動くとき、剛体の各点の始点と終点を結ぶ直線が平行線集合となり、したがって空間における剛体の向きが変わらないならば、この変位を「その直線方向への距離 ℓ だけの平行移動」と呼ぶ。）

平行移動は物体の各点 (x, y, z) を

${\displaystyle (x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)}$

なる形の式に従って変化させる操作である。ただし、(Δx, Δy, Δz) は物体の各点に共通のベクトルとする。この物体の各点に共通の平行移動ベクトル (Δx, Δy, Δz) は、（「角」変位 (angular displacement) と呼ばれる回転を含む変位と区別して）ふつう「線型」変位または「直線」変位 (linear displacement) と呼ばれる特定の種類の変位を記述するものである。

時空を考えるとき、時間座標の変化は平行移動であると考えられる。例えば、ガリレイ変換群やポワンカレ群は時間に関する平行移動を含む。

• Osgood, William F.; Graustein, William C. (1921). Plane and solid analytic geometry. The Macmillan Company 
• Paul (1981), Robot manipulators: mathematics, programming, and control : the computer control of robot manipulators, Cambridge, MA: MIT Press, https://books.google.co.jp/books?id=UzZ3LAYqvRkC 
• Whittaker, Edmund Taylor (1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies (Reprint of fourth edition of 1936 with foreword by William McCrea ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-35883-3 

• 移流
• 回転行列
• スケール変換
• 変換行列（英語版）
• 軸の移動（英語版）
• 並進対称性
• 垂直移動（英語版）

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• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Parallel displacement”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Parallel_displacement 
• Weisstein, Eric W. "Translation". mathworld.wolfram.com (英語).
• Terr, David. "Complex Translation". mathworld.wolfram.com (英語).
• Translation Transform at cut-the-knot
• Geometric Translation (Interactive Animation) at Math Is Fun
• Understanding 2D Translation and Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.