準フロベニウスリー代数

数学において、体 k 上の準フロベニウスリー代数 (quasi-Frobenius Lie algebra)

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )}$

とは、リー代数

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,])}$

であって、次のような非退化歪対称双線型形式 ${\displaystyle \beta \colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to k}$ を持ったものである：

${\displaystyle \beta }$ は k に値を持つ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ のリー代数 2-コサイクル（英語版）。言い換えると、

${\displaystyle \beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)+\beta \left(\left[Z,X\right],Y\right)+\beta \left(\left[Y,Z\right],X\right)=0}$ for all ${\displaystyle X,Y,Z}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

${\displaystyle \beta }$ がコバウンダリであれば、つまりある線型形式 ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {g}}\to k}$ が存在して

${\displaystyle \beta (X,Y)=f(\left[X,Y\right])}$

であれば、

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )}$

はフロベニウスリー代数 (Frobenius Lie algebra) と呼ばれる。

非退化不変歪対称双線型形式を持った pre-Lie algebra との同値性

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )}$ が準フロベニウスリー代数であれば、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 上に別の双線型積 ${\displaystyle \triangleleft }$ を

${\displaystyle \beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)=\beta \left(Z\triangleleft Y,X\right)}$

によって定義できる。

すると${\displaystyle \left[X,Y\right]=X\triangleleft Y-Y\triangleleft X}$ が成り立ち、

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},\triangleleft )}$

は pre-Lie algebra（英語版） である。

関連項目

• リー余代数（英語版）
• リー双代数（英語版）
• リー代数のコホモロジー
• フロベニウス代数
• 準フロベニウス環

参考文献

• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
• Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.