数学において算術幾何平均(さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean)とは、2 つの複素数(しばしば正の実数)に対して算術平均(相加平均)と幾何平均(相乗平均)を繰り返し用いて作られる数列の極限のこと。
定義
である複素数
について
![{\displaystyle a_{0}=a,\quad b_{0}=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2a1e1abd554b4b203d6f15200b446c87e65042)
と定めれば数列
と
は同じ値に収束する。その極限を
の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均
の根号の符号は算術平均
の側にあるものを選ぶものとする。
の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。
の場合は、次式になる。
概要
が正の実数である場合、
が成り立ち(相加・相乗平均の関係式)、
![{\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2b9166d2db88ce429f77850bf0c4fd86d8b9f6)
となることから
という関係が成り立っている。{an} は下に有界な単調減少数列であり、{bn} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{an} の極限を α とし、{bn} の極限を β とすると定義の漸化式から
![{\displaystyle \alpha ={\frac {\alpha +\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af7e2f7dd002f34c046702bd3a23c9598b46804)
が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {an}, {bn} は n → ∞ とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。
性質
正の定数
に対し
が成り立つ。
この数列の収束は
を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。
また次のことが知られている。
右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。
証明
複素数
の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。
![{\displaystyle a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}=(a_{n}+b_{n})(a_{n}-b_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bbcbda6c2b0422ed5586377f5b6c36926356a86)
となるように
の根号の符号を決めると約束したので、
である。
を
の階差とすれば
![{\displaystyle d_{n}=a_{n+1}-a_{n}=-{\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4bfc8e15c27f810c6cc6abb3e3467852c844a4)
である。したがって、級数
は絶対収束する。すなわち、数列
は収束し、数列
は
と同じ値に収束する。
算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、
は正の実数とする。
と置換すると、
と置換することによって、
![{\displaystyle x={\sqrt {ab}}\;t+{\sqrt {ab+abt^{2}}},\quad dx=\left({\sqrt {ab}}+{\frac {\sqrt {ab}}{\sqrt {ab+abt^{2}}}}\right)dt={\frac {x}{\sqrt {1+t^{2}}}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f975015a13042564432efcda16e671b832f4c7a)
となる。したがって、
が複素数である場合は、積分路
と実軸との間に(留数をもつ)極がないことを確かめなければならない。
,
とすれば、
これに
を代入すると
であり、
となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極
の間(原点に近いところ)を通る。また、
,
とすると、
これに
を代入すれば
であるから、積分路は極
の間を通る。
算術調和平均
である複素数
について算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列
である。つまり、算術調和平均は
の幾何平均に等しい。このことは
![{\displaystyle a_{n+1}b_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\cdot {\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}}=a_{n}b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31cf4f4bee3b5b52c7ac7dd0622ffd052bf5d64)
から明らかである。
調和幾何平均
である複素数
について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列
である。つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、
を逆数にして
![{\displaystyle (1/a_{n+1})=(1/a_{n})+(1/b_{n}),\quad (1/b_{n+1})={\sqrt {(1/a_{n})(1/b_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87c289dde672588ed2d71cac4c7d355bca8e60c)
から明らかである。
関連項目