数学における重調和方程式(英: biharmonic equation)とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である:
![{\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =\Delta ^{2}\varphi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2992b749bfe50da0c98444b9b65570e53c3c5af4)
ここで ∇4 は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素 Δ の自乗で、重調和作用素 (biharmonic operator) として知られている。
例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。
![{\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e6d5a46c134c268f3cfa5a5064242231b4f621)
重調和方程式の解は重調和関数 (biharmonic function) と呼ばれる。どんな調和関数も重調和であるが、逆は真ではない。
重調和方程式は連続体力学の分野(線型弾性理論における応力関数や流体力学におけるストークス流れの解など)において現れる。
2次元空間
2次元の場合の一般解は
![{\displaystyle xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373ff2d6c303bff279cbe55a668897eb6cd8c2d7)
ここで
は調和関数で
は
の調和共役である。
2変数の調和関数は複素解析関数と深く関わりを持つが、2変数の重調和関数についても同じことが言える。2変数の重調和関数の一般形は次のように書ける:
![{\displaystyle \operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d2fa1b9989ab0280eaca374da5d03ebe78116e)
ここで
と
は解析関数である。
2次元の極座標系では、重調和方程式は
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ef5bd5e658213d4a274117be78d4bd20b21395)
となる。これは変数分離法によって解ける。その結果はミッシェル解(英語版)と呼ばれる。
例
n 次元ユークリッド空間において、
![{\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0407cca4200acba1a2ff17779a8e9992235395)
ただし
![{\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf205a72b41008edc5759179129ba9b59fb770d8)
は、n = 3, 5 のときのみ、重調和方程式となる。
参考文献
- Weisstein, Eric W. (2002), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, ISBN 1-58488-347-2 .
- Hayek, S.I. (2000), Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0466-5 .
- Den Hartog, J. P. (July 1st, 1987). Advanced Strength of Materials. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65407-9 .
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Biharmonic Equation". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "Biharmonic Operator". mathworld.wolfram.com (英語).