重調和方程式

数学における重調和方程式（英: biharmonic equation）とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である：

∇ 4 φ = ∇ 2 ∇ 2 φ = Δ 2 φ = 0. {\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =\Delta ^{2}\varphi =0.}

ここで ∇4 は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素 Δ の自乗で、重調和作用素 (biharmonic operator) として知られている。

例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。

∂ 4 φ ∂ x 4 + ∂ 4 φ ∂ y 4 + ∂ 4 φ ∂ z 4 + 2 ∂ 4 φ ∂ x 2 ∂ y 2 + 2 ∂ 4 φ ∂ y 2 ∂ z 2 + 2 ∂ 4 φ ∂ x 2 ∂ z 2 = 0. {\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.}

重調和方程式の解は重調和関数 (biharmonic function) と呼ばれる。どんな調和関数も重調和であるが、逆は真ではない。

重調和方程式は連続体力学の分野（線型弾性理論における応力関数や流体力学におけるストークス流れの解など）において現れる。

2次元空間

2次元の場合の一般解は

x v ( x , y ) − y u ( x , y ) + w ( x , y ) {\displaystyle xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}

ここで u ( x , y ) , v ( x , y ) , w ( x , y ) {\displaystyle u(x,y),v(x,y),w(x,y)} は調和関数で v ( x , y ) {\displaystyle v(x,y)} は u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)} の調和共役である。

2変数の調和関数は複素解析関数と深く関わりを持つが、2変数の重調和関数についても同じことが言える。2変数の重調和関数の一般形は次のように書ける：

Im ⁡ ( z ¯ f ( z ) + g ( z ) ) {\displaystyle \operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}

ここで f ( z ) {\displaystyle f(z)} と g ( z ) {\displaystyle g(z)} は解析関数である。

2次元の極座標系では、重調和方程式は

1 r ∂ ∂ r ( r ∂ ∂ r ( 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ φ ∂ r ) ) ) + 2 r 2 ∂ 4 φ ∂ θ 2 ∂ r 2 + 1 r 4 ∂ 4 φ ∂ θ 4 − 2 r 3 ∂ 3 φ ∂ θ 2 ∂ r + 4 r 4 ∂ 2 φ ∂ θ 2 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}

となる。これは変数分離法によって解ける。その結果はミッシェル解（英語版）と呼ばれる。

例

n 次元ユークリッド空間において、

∇ 4 ( 1 r ) = 3 ( 15 − 8 n + n 2 ) r 5 {\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}

ただし

r = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 {\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}}

は、n = 3, 5 のときのみ、重調和方程式となる。

参考文献

  • Weisstein, Eric W. (2002), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, ISBN 1-58488-347-2 .
  • Hayek, S.I. (2000), Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0466-5 .
  • Den Hartog, J. P. (July 1st, 1987). Advanced Strength of Materials. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65407-9 .

関連項目

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Biharmonic Equation". mathworld.wolfram.com (英語).
  • Weisstein, Eric W. "Biharmonic Operator". mathworld.wolfram.com (英語).