非有基的集合論

非有基的集合論（ひゆうきてきしゅうごうろん）は、集合がそれ自身の要素であることを認め、自己属集合（ある集合が自分自身の要素になっている集合）を許容する集合論である。

数学で一般的に用いられる公理論的集合論は、集合の要素は集合自身を含まないという公理（正則性公理、基礎の公理、有基性公理とも呼ばれる）に基づいている。このため、自己参照的な概念のモデル化に用いることは困難だった。これに対して、自己属集合を許容する非有基的集合論は、自己参照や無限遡及を自然に扱うことができるために、計算機科学（プロセス代数と最終意味論）、言語学と自然言語意味論（状況意味論）、哲学（うそつきパラドックスに関する研究）^[1]、非標準解析における非終了計算プロセスの論理モデリング、複雑系科学などに応用されている^[2]。

非有基的集合論の研究は、1917年から1920年にかけて発表されたドミトリー・ミリマノフが一連の論文によって先鞭がつけられた^[3]。以後、複数の非有基的集合論の公理系が提案されたものの、専門分野内の議論にとどまり、応用されることは少なかった。応用が盛んとなったのは、グラフを用いることで有基性公理に基づく集合（well-founded set）とそれに基づかない非有基的集合（non-well-founded set）の両方を許容するHyperset論^[4]をピーター・アクゼルが1988年に発表した以降のことである。

• Aczel, Peter (1988), Non-well-founded sets, CSLI Lecture Notes, 14, Stanford, CA: Stanford University, Center for the Study of Language and Information, pp. xx+137, ISBN 0-937073-22-9, MR0940014, https://archive.org/details/nonwellfoundedse0000acze/page/. 
• Moss, Lawrence S (2008). “Non-wellfounded set theory”. Stanford Encyclopedia of Philosophy. https://plato.stanford.edu/entrieS/nonwellfounded-set-theory/. 
• 辻下徹. (1994). 非有基的集合論入門 http://ac-net.org/tjst/doc/tjst/92hyperset.pdf
• 辻下徹「非有基的集合論の紹介 : 自己言及的状況の表現法として(複雑さの理論,基研長期研究会「複雑系」,研究会報告)」『物性研究』第63巻第6号、物性研究刊行会、1995年3月、663-666頁、CRID 1050564285578632448、hdl:2433/95526、ISSN 0525-2997。 
• 向井国昭「超集合論 : circularity の論理の現在」『科学哲学』第36巻第2号、日本科学哲学会、2003年、65-77頁、CRID 1390282680060409728、doi:10.4216/jpssj.36.2_65、ISSN 02893428。 

表 話 編 歴 数学
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表 話 編 歴 集合論
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関係	性質 反射関係 推移関係 推移閉包 対称関係 非対称関係 反対称関係 完全関係 同値関係 同値類 well-defined 整礎関係 逆関係 関係の合成 写像 定義域 終域 値域 単射 全射 全単射 逆写像 像と逆像 恒等写像 制限 包含写像 合成 射影 商写像 指示関数 配置集合 族 添字集合 順序対 順序組 列 集合族 グラフ 部分写像 対応 順序 前順序 有向 半順序 全順序 整列 稠密 有界 単調写像 順序同型 辞書式順序 順序型 推移的集合 順序数 0 後続 極限 自然数 ハッセ図 超限帰納法 ツォルンの補題 整列可能定理 整礎的集合 フォン・ノイマン宇宙
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