楕円(赤)とその縮閉線(青): 楕円の頂点(黒点)はすべて縮閉線の尖点にもなっている。楕円の縮閉線は星芒形である。 平面幾何学において、曲線の頂点(ちょうてん、英: vertex)とは、曲率関数の臨界点が定める曲線上の点である。
単純閉曲線のうちオーバルなどは少なくとも四つの頂点をもつ(四頂点定理(英語版))。
定義
より詳しく書けば、滑らかな平面曲線の正則な媒介変数表示 (x, y) = (x(t), y(t)) が与えられ、曲率を
![{\displaystyle \kappa (t)={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089130369beda426a4f86558010e37c8929355f9)
としたとき
![{\displaystyle {\dot {\kappa }}(a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238fdc0f75e903ee060d80e7c50f48a01aa91d09)
ならば、平面曲線上の点 (x(a), y(a)) を頂点という。
例
放物線の頂点は一つである。 たとえば、放物線 (x, y) = (t, t2) の曲率は
![{\displaystyle \kappa (t)={\frac {2}{(1+4t^{2})^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e2095cbf5b56a5a7d52f5fbf966829467f8f37)
であるから
![{\displaystyle {\dot {\kappa }}(t)=-{\frac {24t}{(1+4t^{2})^{5/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72cc67fcce04c9236c31054de77829061d5d4f7)
より臨界点は t = 0 のみであり、放物線の頂点は点 (0, 0) のみである。
参考文献