順像関手
数学の層論や代数幾何学の分野に現れる順像関手(じゅんぞうかんしゅ、英: direct image functor)とは、層の切断の概念を相対的な場合へ一般化するものである。
定義
f: X → Y をある位相空間の連続写像とし、Sh(–) をある位相空間上のアーベル群の層の圏とする。次の順像関手
は、X 上の層 F をその順像前層(direct image presheaf)
に送る。この前層は Y 上の層であることが分かる。この割り当ては関手的なものである。すなわち、X 上の層の射 φ: F → G は Y 上の層の射 f∗(φ): f∗(F) → f∗(G) を導く。
例
Y が点であるなら、順像関手は大域切断関手(英語版)と等しくなる。f: X → Y をある位相空間での連続写像あるいはスキームの射とする。このとき例外逆像(exceptional inverse image)は関手 f!: D(Y) → D(X) である。
応用
同様の定義はエタール層のようなトポスの上の層に対しても適用できる。この場合、上述の原像 f−1(U) の代わりに Y についての U と X のファイバー積(英語版)が用いられる。
高次順像
順像関手は左完全(left exact)であるが、通常、右完全ではない。したがってその順像の右導来関手を考えることが出来る。それらは高次順像(higher direct images)と呼ばれ、Rq f∗ と表記される。
高次順像に対しても上述と同様の表現が存在することが分かる。すなわち、X 上のある層 F に対して Rq f∗(F) は前層
に対応する層となる。
性質
- 順像関手は、逆像関手(英語版)の右随伴であり、このことは任意の連続な およびそれぞれ X、Y 上の層である に対して、自然同型
が存在することを意味する。
- f がある閉部分空間 X ⊂ Y の包含であるなら、f∗ は完全である。実際、この場合 f∗ は X 上の層と Y 上の層の間の同値性となり、それは X 上でサポートされる。この事実より、 の茎(stalk)は、 なら で、そうでないならゼロとなる(この証明には Y 内での X の近さ(英語版)が用いられる)。
関連項目
- 固有基底変換定理(英語版)
参考文献
- Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-16389-3, MR842190 , esp. section II.4
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