ADHM 작도

수리물리학에서 ADHM 작도(ADHM作圖, 영어: ADHM construction)는 선형대수학만을 사용하여 4차원 유클리드 공간의 양-밀스 순간자들을 작도하는 방법이다.

SO(4)=SU(2)_L×SU(2)_R이다. 편의상 바일 스피너 표기법을 사용하자. 즉, SU(2)_L의 기본 표현 2의 지수는 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots =1,2}$로, SU(2)_R의 기본 표현 2의 지수는 ${\displaystyle {\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots =1,2}$로 쓴다. 이렇게 하면, SO(4)의 기본 표현은 4=(2,2)이므로, 4차원 벡터의 지표는 ${\displaystyle a{\dot {a}}}$가 된다.

통상적으로,

${\displaystyle \psi ^{\dot {\alpha }}=\epsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\psi _{\dot {\beta }}}$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }=\epsilon ^{\alpha \beta }\psi _{\beta }}$

이다.

SU(N) 양-밀스 이론에서, 순간자수가 ${\displaystyle k}$인 상태를 작도한다고 하자. 그렇다면 ADHM 작도는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle X_{\mu }\in \hom(\mathbb {R} ^{k},\mathbb {R} ^{k})}$. 이는 ${\displaystyle X_{\alpha {\dot {\alpha }}}=\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }X_{\mu }}$로 적을 수 있다.
• ${\displaystyle W_{\dot {\alpha }}\in \hom(\mathbb {C} ^{N},\mathbb {C} ^{k})}$. 이는 ${\displaystyle k\times N}$ 복소 행렬로 나타낼 수 있다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 이를 ADHM 방정식(영어: ADHM equation)이라고 한다.

${\displaystyle W_{\dot {\alpha }}(W_{\dot {\beta }})^{\dagger }=iC\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}+i\epsilon ^{\alpha \beta }X_{\alpha {\dot {\alpha }}}(X_{\beta {\dot {\beta }}})^{\dagger }}$

여기서 ${\displaystyle C\in {\mathfrak {u}}(k)}$는 임의의 ${\displaystyle k\times k}$ 에르미트 행렬이다.

이 데이터로, 순간자 ${\displaystyle A_{\mu }}$를 다음과 같이 작도할 수 있다.

시공간 좌표 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{4}}$는 4차원 벡터이므로,

${\displaystyle x_{\alpha {\dot {\alpha }}}=x_{\mu }\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }}$

로 적을 수 있다. 여기서 ${\displaystyle \sigma ^{\mu }}$는 파울리 행렬이다.

${\displaystyle 2k\times (N+2k)}$ 복소행렬 ${\displaystyle \Delta }$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle \Delta _{\dot {\alpha }}(x)=W_{\dot {\alpha }}}$

${\displaystyle \Delta _{\alpha {\dot {\alpha }}}(x)=X_{\alpha {\dot {\alpha }}}+x_{\alpha {\dot {\alpha }}}\otimes I_{k\times k}}$

${\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}\Delta _{\dot {1}}&\Delta _{1{\dot {1}}}&\Delta _{2{\dot {1}}}\\\Delta _{\dot {2}}&\Delta _{1{\dot {2}}}&\Delta _{2{\dot {2}}}\end{pmatrix}}}$

위 조건에 따라서, ${\displaystyle 2k\times 2k}$ 행렬 ${\displaystyle \Delta (x)\Delta ^{\dagger }(x)}$는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle \Delta (x)\Delta ^{\dagger }(x)={\begin{pmatrix}F^{-1}(x)&0_{k\times k}\\0_{k\times k}&F^{-1}(x)\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \Delta (x)}$는 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N+2k}}$에 작용한다. 거의 모든 ${\displaystyle x_{\alpha {\dot {\alpha }}}}$에 대하여, ${\displaystyle \ker \Delta (x)}$는 ${\displaystyle N}$차원이다. 따라서, ${\displaystyle \Delta }$의 규칙화 영 모드들을 ${\displaystyle (2k+N)\times N}$ 행렬 ${\displaystyle U(x)}$로 적자.

${\displaystyle \Delta (x)U(x)=0}$

${\displaystyle U^{\dagger }(x)U(x)=I_{N\times N}}$

그렇다면 순간자 게이지 퍼텐셜 ${\displaystyle A_{\mu }}$는 다음과 같다.

${\displaystyle A_{\mu }=iU^{\dagger }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}U(x)}$

${\displaystyle X_{\mu }}$는 ${\displaystyle 4k^{2}}$개의 실수 매개변수, ${\displaystyle W_{\dot {\alpha }}}$는 ${\displaystyle 4Nk}$개의 실수 매개변수를 기여한다. ADHM 방정식은 ${\displaystyle 3k^{2}}$개의 제약을 가하고, 또한 임의의 ${\displaystyle M\in \operatorname {U} (k)}$에 대하여

${\displaystyle W_{\dot {\alpha }}\to MW_{\dot {\alpha }}}$

${\displaystyle X_{\alpha {\dot {\alpha }}}\mapsto MX_{\alpha {\dot {\alpha }}}M^{-1}}$

와 같이 회전을 가해도 같은 순간자를 얻으므로, 모듈러스 공간의 차원은 ${\displaystyle 4Nk}$이다.

ADHM 작도는 끈 이론으로 자연스럽게 해석할 수 있다.^[1] 이 경우, N개의 겹친 D3-막에 녹아 있는 k개의 D(−1)-막들을 고려한다. 이 경우 D(−1)-막에 존재하는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ (16개 초전하) 초대칭 게이지 이론을 고려한다. 이 게이지 이론은 쿨롱 상과 힉스 상 두 가지의 상이 존재한다.

• 쿨롱 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막에서 분리돼 각각 자유롭게 움직인다.
• 힉스 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막 속에 녹아, D3-막 위에 존재하는 초대칭 게이지 이론의 순간자를 이룬다.

따라서, 다음과 같은 대응 관계를 얻는다.

기호	ADHM 작도	끈 이론 해석
N	게이지 군 SU(N)의 계수	겹친 D3-막의 수
k	순간자수	D(−1)-막의 수
	ADHM 방정식	D(−1)-막 위에 존재하는 이론의 퍼텐셜의 D-항 및 F-항
${\displaystyle W_{\dot {\alpha }}}$		D3-막과 D(−1)-막을 잇는 끈으로 발생하는 스칼라장
${\displaystyle X_{\mu }}$		D(−1)-막의 (비가환) 위치
	순간자 모듈러스 공간	D(−1)-막 세계부피 이론의 힉스 가지 모듈러스 공간

마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 발표하였다.^[2] 이름은 발견자들의 성의 머릿자를 딴 것이다.

• 트위스터 이론

• Dorey, Nick; Timothy J. Hollowood, Valentin V. Khoze, Michael P. Mattis (2002년 12월). “The calculus of many instantons”. 《Physics Reports》 (영어) 371 (4-5): 231-459. arXiv:hep-th/0206063. Bibcode:2002PhR...371..231D. doi:10.1016/S0370-1573(02)00301-0.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Prasad, M. K. (1980년 6월). “Instantons and monopoles in Yang–Mills gauge theories”. 《Physica D: Nonlinear Phenomena》 (영어) 1 (2): 167–191. Bibcode:1980PhyD....1..167P. doi:10.1016/0167-2789(80)90010-X. 
• Nekrasov, Nikita A. (2001). 〈Trieste lectures on solitons in noncommutative gauge theories〉. 《Superstrings and Related Matters: Proceedings of the Trieste 2000 Spring Workshop, ICTP, Trieste, Italy, 27 March – 4 April 2000》 (영어). World Scientific. 141–205쪽. arXiv:hep-th/0011095. Bibcode:2001srm..conf..141N. doi:10.1142/9789812810274_0004. ISBN 978-981-02-4525-2. 

• Lindenhovius, A. J. “Instantons and the ADHM construction” (PDF) (영어). 석사 학위 논문.