In de wiskunde is een achthoek (Gr. octagon) een veelhoek met acht zijden en acht hoeken.
De som van alle (binnen)hoeken
van een achthoek bedraagt 1080°, zoals volgt uit de formule voor de som van de hoeken in een veelhoek. Voor
wordt dit::
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}=(n-2)\cdot 180^{\circ }=6\times 180^{\circ }=1080^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c578cb4b05c264ae552fc13740b69e239229d3b)
Verschillende soorten achthoeken
| | | |
regelmatige achthoek | onregelmatig achthoek | concave achthoek | complexe achthoek |
Regelmatige achthoek
Van een regelmatige achthoek zijn alle zijden gelijk en zijn alle binnenhoeken gelijk aan 135°. Er geldt immers voor elke hoek
:
![{\displaystyle \alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\tfrac {3}{4}}\cdot 180^{\circ }=135^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ff7313bfe90a480fd08949333dc14e7e6830ca)
Voor de oppervlakte van een regelmatige achthoek met een zijde van lengte
geldt:
![{\displaystyle A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\simeq 4{,}82843\,a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5a64528466545ca3b9610536061ec7ba8920e4)
De lengte
kan als volgt worden afgeleid van de diameter
:
![{\displaystyle a\cdot \cos 45^{\circ }+a+a\cdot \cos 45^{\circ }=D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738c00042ef1ef125fe891820e9047a7ff156be0)
![{\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}+a+a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}=D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834d29f1824865c2b5a2b67a9f2638b69e14d38b)
![{\displaystyle a\cdot ({\sqrt {2}}+1)=D\Rightarrow a={\frac {D}{({\sqrt {2}}+1)}}\Rightarrow a\simeq {\frac {D}{2{,}41421}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806a6a03b7c72f7eec6089662983bd06d367f8ad)
Constructie
De constructie van een regelmatige achthoek gaat met behulp van een liniaal en een passer, in 18 stappen:
Zie ook
Mediabestanden
Zie de categorie Octagons van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.
Veelhoeken
1-10 zijden: | tweehoek (2) · driehoek (3) · vierhoek (4) · vijfhoek (5) · zeshoek (6) · zevenhoek (7) · achthoek (8) · negenhoek (9) · tienhoek (10) |
11-20 zijden: | elfhoek (11) · twaalfhoek (12) · dertienhoek (13) · veertienhoek (14) · vijftienhoek (15) · zestienhoek (16) · zeventienhoek (17) · achttienhoek (18) · negentienhoek (19) · twintighoek (20) |
> 21 zijden: | vierentwintighoek (24) · 257-hoek · duizendhoek (1000) · 65537-hoek |
WikiWoordenboek