Affiene groep
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de affiene groep of de algemene affiene groep van een affiene ruimte over een lichaam/veld de groep van alle inverteerbare affiene transformaties van die ruimte. De groepsbewerking is de functiecompositie.
De affiene groep is een lie-groep als een reëel, complex of quaternionen-lichaam/veld is.
Definitie
Een inverteerbare affiene transformatie van een vectorruimte is van de vorm
- ,
met een isomorfisme van , en een vast element van .
De transformatie is dus samengesteld uit het isomorfisme en een translatie over de vector .
Er geldt:
dus
en ook:
zodat:
De inverteerbare, affiene transformaties vormen dus een groep, de affiene groep of algemene affiene groep, aangeduid met [1], [2] of .[3]
Als de -dimensionale ruimte over het lichaam/veld is, wordt de affiene groep genoteerd als . In een context waarin duidelijk is, wordt ook wel alleen de parameter aangegeven, bijvoorbeeld .
Voor eindige met elementen, schrijft men eenvoudigweg , want een eindig lichaam/veld is door het aantal elementen op isomorfie na eenduidig bepaald.
De affiene groep van de -dimensionale euclidische ruimte met elementen heeft een aantal belangrijke ondergroepen:
- algemene lineaire groep met elementen , de oorsprong blijft op zijn plaats
- euclidische groep of (de isometrieën, dus geen vervorming of vergroting/verkleining)
- orthogonale groep (de doorsnede van de twee: de isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft)
Verder zijn er nog de ondergroepen hiervan waarbij de determinant van de betreffende matrix 1 is[4]:
- speciale lineaire groep, (wel vervormingen, maar geen spiegeling en geen verandering van het -dimensionale volume)
- speciale euclidische groep (de directe isometrieën; voor zijn dit de mogelijke veranderingen van positie en stand van een star lichaam)
- speciale orthogonale groep (de directe isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft; voor zijn dit de draaiingen om de oorsprong, voor de draaiingen om een as door de oorsprong)
Referenties
- ↑ J. D. Dixon, B. Mortimer: Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), ISBN 0-387-94599-7, hfdst. 2.8: Affine and Projective Groups
- ↑ M. Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, Springer-Verlag (1995), ISBN 978-3-528-06565-2, p. 27
- ↑ R. Walter: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Vieweg (1985), ISBN 978-3-528-08584-1, p. 168
- ↑ In het eerste geval (waarbij de determinant elk getal ongelijk aan 0 kan zijn) is dat een grotere beperking dan in het tweede en derde geval (waarbij de determinant 1 en -1 kan zijn).