Het autoregressieve (AR) model is een model uit de tijdreeksanalyse dat wordt gebruikt om bepaalde voorspellingen te doen.
Definitie
Het autoregressieve model van de orde
genoteerd als
is gedefinieerd als
,
waarin
de parameters van het model zijn,
een constante is en
witte ruis is. De constante term wordt vaak weggelaten.
Aannames
![{\displaystyle \mathrm {E} (\varepsilon _{t})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e555cdeb5608d33bf50445d15ae39963a5917c36)
![{\displaystyle \mathrm {E} (\varepsilon _{t}^{2})=\sigma ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c9a80d000fd8801d04ca41d3bd1a3c1e797453)
voor alle ![{\displaystyle t\neq s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc31c412c6874b8634ab9615984f91c67ecc8bf5)
Voorbeeld
Een
-proces is gegeven door:
![{\displaystyle X_{t}=c+\varphi X_{t-1}+\varepsilon _{t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f44a8ddc9b27d332341c319ee16e6c498834e6)
waarin
aan de aannames voldoet. Daardoor is de verwachtingswaarde
dezelfde voor alle waarden van
indien
. De verwachtingswaarde
is gelijk aan
![{\displaystyle \mathrm {E} (X_{t})=\mathrm {E} (c)+\varphi \mathrm {E} (X_{t-1})+\mathrm {E} (\varepsilon _{t})\Rightarrow \mu =c+\varphi \mu +0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7ef43aff4a658535c9d550029c8fd3e0274372)
Dus
![{\displaystyle \mu ={\frac {c}{1-\varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52646a3ee007a1040bed4f9489b19cc49ea3291c)
In het bijzonder is, als
, de verwachtingswaarde gelijk aan 0.
De variantie is
,
waarin
de standaardafwijking van
is.
Dit kan men zien doordat