Irrationale getallen: √2 √3 √5 e π |
Verschillende representaties van ζ(3) |
binair | 1,0011 0011 1011 1010… |
decimaal | 1,20205 69031 59594 2854… |
hexadecimaal | 1,33BA 004F 0062 1383… |
kettingbreuk | ![{\displaystyle 1+{\frac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd7c7e65acf4a6dcc0d742fc145380fd88e87d1) Merk op dat deze kettingbreuk oneindig is. Maar het is onbekend of deze kettingbreuk periodiek is of niet. |
In de wiskunde is de constante van Apéry een wiskundige constante met de waarde
, de waarde van de riemann-zèta-functie voor het getal 3.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right)=\\&=1{,}20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\,\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e643f351f6a2dce35473f0207d6507325bbbb047)
In 1979 bewees Roger Apéry dat
. een irrationaal getal is. Onbekend is of het getal ook transcendent is. De constante komt op een natuurlijke manier voor in enkele problemen in de fysica.[1]
Reeksontwikkeling
In 1772 gaf de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler de volgende reeksontwikkeling voor dit getal:
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2175db573c41d97794a93018bee4e7ec440fb118)
Andere reeksontwikkelingen zijn onder andere
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}\\\zeta (3)&={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b3f227c66d88fb380cca241fcb9f4555f9d23a)
Bronnen, noten en/of referenties
- ↑ (en) Eric Weisstein, Apéry's Constant. MathWorld. Gearchiveerd op 5 januari 2017. Geraadpleegd op 21 december 2016.