Dedekind-zèta-functie

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de dedekind-zèta-functie van een algebraïsch getallenlichaam ${\displaystyle K}$, algemeen aangeduid door ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$, een generalisatie van de riemann-zèta-functie. De riemann-zèta-functie, die een speciaal geval is waarin ${\displaystyle K}$ het lichaam van de rationale getallen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ is.

In het bijzonder kan de dedekind-zèta-functie worden gedefinieerd als een dirichletreeks. De dedekind-zèta-functie heeft een euler-product-expansie, voldoet aan een functionaalvergelijking en heeft een analytische voortzetting tot een meromorfe functie op het complexe vlak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ met slechts een enkelvoudige pool in ${\displaystyle s=1}$. De uitgebreide riemann-hypothese stelt dat ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)=1/2}$ als ${\displaystyle \zeta _{K}(s)=0}$ en ${\displaystyle 0<\mathrm {Re} (s)<1}$.

De dedekind-zèta-functie is genoemd naar Richard Dedekind, die deze functie in zijn aanvulling op Johann Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie introduceerde.^[1]

De dedekind-zèta-functie ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ van het algebraïsch getallenlichaam ${\displaystyle K}$ is gedefinieerd voor complexe getallen ${\displaystyle s}$ met ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$, door de dirichletreeks:

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbb {Q} }(I))^{s}}}}$

waarin ${\displaystyle I}$ als waarden de niet-nulzijnde idealen van de ring van de gehele getallen ${\displaystyle O_{K}}$ van ${\displaystyle K}$ heeft, en ${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(I)}$ de absolute norm van ${\displaystyle I}$ is (die is gelijk aan de index ${\displaystyle [O_{K}:I]}$ van ${\displaystyle I}$ in ${\displaystyle O_{K}}$ of equivalent aan de kardinaliteit van de quotiëntring ${\displaystyle O_{K}/I}$). Deze som convergeert absoluut voor alle complexe getallen ${\displaystyle s}$ met ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$.