Dekpunt
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Fixed_Point_Graph.png/260px-Fixed_Point_Graph.png)
In de wiskunde is een dekpunt, fixpunt of vast punt van een functie een argument dat op zichzelf wordt afgebeeld. Als de functie de verzameling in zichzelf afbeeldt is het element een dekpunt van als . Als de functie bijvoorbeeld een rotatie in twee dimensies is, dan is het rotatiepunt een dekpunt.
Van de reële functie
is 2 een dekpunt van , aangezien .
Niet alle functies hebben dekpunten: stel dat de op de reële getallen gedefinieerde functie is, dan kan deze functie geen dekpunten hebben, aangezien voor geen enkel reëel getal gelijk kan zijn aan . In grafische termen kan men zich het dekpunt voorstellen als het punt op de lijn of in andere woorden het snijpunt van de grafiek van en de lijn . In het voorbeeld zijn de grafiek van de functie en de lijn evenwijdige lijnen.
Punten die na een eindig aantal toepassingen van de functie terugkeren op de uitgangswaarde, staan bekend als periodieke punten, een dekpunt wordt meteen op zichzelf afgebeeld.
Vinden van dekpunten
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Cosine_fixed_point.svg/260px-Cosine_fixed_point.svg.png)
Een dekpunt is een oplossing van de vergelijking .
Een andere manier om iteratief een dekpunt te vinden is een beginwaarde te kiezen en vervolgens de iteratie toe te passen. Dus enzovoort. Als de rij convergeert is dat naar een dekpunt.
De rij zal convergeren als aan de volgende eisen is voldaan:
- De functie is gedefinieerd op een gesloten interval , en als .
- Er is een positief getal zodat voor iedere geldt dat .
- .
Nut van dekpunten
Veel wiskundige problemen zijn te herleiden tot dekpuntproblemen. Beschouw als voorbeeld de algemene eerste orde differentiaalvergelijking
met beginvoorwaarde . Hierbij is een continue functie. Deze differentiaalvergelijking met beginvoorwaardeintegraalvergelijking is gelijkwaardig met de volgende integraalvergelijking:
want als een oplossing hieraan voldoet, is
- en
Zij de verzameling van continue functies op en de afbeelding gedefinieerd door
Als een dekpunt heeft, dan is een oplossing van de differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde.
Een uitgewerkt voorbeeld staat bij de contractiestelling van Banach.
Dekpuntstellingen
- Dekpuntstelling van Brouwer
- Dekpuntstelling van Caristi
- Contractiestelling van Banach
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Wiktionary-logo.svg/25px-Wiktionary-logo.svg.png)