Gauss-kwadratuur is een door Carl Friedrich Gauss bedachte en door hem in 1814 gepubliceerde methode (kwadratuur).[1] om een integraal numeriek te benaderen. Gauss-kwadratuur levert van alle numerieke integratiemethodes de hoogste algebraïsche nauwkeurigheid op. De vorm met orthogonale polynomen, zoals die tegenwoordig gehanteerd wordt, stamt uit 1826 en is afkomstig van Carl Jacobi.[2]
Achtergrond
De achterliggende gedachte van gauss-kwadratuur is de integraal van een functie te benaderen door de gewogen som van de functiewaarden in een aantal zogeheten steunpunten
:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x\approx \sum _{k=1}^{n}w_{k}\,f(x_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3e71f983a9c390fa31cb62aaf97d3c07a7ffd4)
Dit blijkt goed mogelijk te zijn, als de functie benaderd kan worden door een polynoom van voldoend hoge graad
![{\displaystyle f(x)\approx P(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0910b70a8da3db0ef34bc2e2a84df1de832b4a3)
en voor elke
de steunpunten en de gewichten
eenmalig zo gekozen kunnen worden dat de benadering exact is voor polynomen van maximaal de graad
[3]:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,{\rm {d}}x=\sum _{k=1}^{n}w_{k}\,P(x_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28325ce35d90426eb310be69bcee4cc39d14fb37)
Bovendien is de benadering voor andere functies in bepaalde zin met deze keuze optimaal.
De benaderende polynoom wordt geschreven als een lineaire combinatie van polynomen uit een rij orthogonale polynomen met betrekking tot het inproduct
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,{\rm {d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6276977f708f08f3df34b38919c71a71ac011ebb)
Er is nog een vrij keuze wat de norm van de polynomen betreft, en een geschikte keuze is de polynomen normeren op 1, zodat ze een orthonormaal stelsel vormen.
Omdat
en
, is
![{\displaystyle P_{0}(x)=c={\frac {1}{\sqrt {b-a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827cb147688f93761f00c7e27c204de21359de16)
en
voor ![{\displaystyle m>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501173910e6da8425b4e9d44a4e8643620bc2464)
Dus is ook voor
:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}P_{m}(x)\,{\rm {d}}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad452f8e5b782b44eeb0e5d7fd56f5068618671)
Door deze eisen zijn de polynomen vastgelegd.
Elke polynoom
van de graad
is een lineaire combinatie van de polynomen
:
![{\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\,P_{k}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de046948e4bae4a75d95eadeac3d7520bc9d0e54)
waarin
![{\displaystyle \alpha _{k}=\langle P,P_{k}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfdcf25eb93c060ee280d77ba792f99ab10b00cd)
immers:
![{\displaystyle \langle P,P_{k}\rangle =\left\langle \sum _{m=0}^{n}\alpha _{m}\,P_{m},P_{k}\right\rangle =\sum _{m=0}^{n}\alpha _{m}\,\langle P_{m},P_{k}\rangle =\sum _{m=0}^{n}\alpha _{m}\,\delta _{mk}=\alpha _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26fe9af3d7db9c3fd1a178c3601eb826a30067f)
Er blijft dus nog de gewichten
en steunpunten
te bepalen zo, dat voor
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}w_{k}P_{m}(x_{k})=\int _{a}^{b}P_{m}(x)\,{\rm {d}}x=\delta _{m0}\,{\sqrt {b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c01f0177ea73c332a1ead20225f21ba321f31e)
Voor het steunpunt
neemt men de
-de wortel van
, dan ontstaat voor de gewichten een stelsel van
lineaire vergelijkingen (van de
vergelijkingen is die voor
triviaal, aangezien
).
voor ![{\displaystyle m=1,\ldots ,n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ca9260717b5d9130c31bc8eb916bf5d86b5f075)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}w_{k}=b-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cf6a7d01f3df5dfaf069c10d985b1e0581efc5)
De vergelijkingen kunnen omgevormd worden tot het stelsel:
voor ![{\displaystyle m=0,\ldots n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b91172003da4d0b4893c844f7254fe2b1a3a7946)
Voor de zo bepaalde steunpunten en gewichten geldt nu dat inderdaad:
![{\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\,\sum _{i=1}^{n}w_{i}P_{k}(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}P_{k}(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}P(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6ac9080c704315b360bee4079b9360078e1778)
Gauss-legendrekwadratuur
Gauss-legendrekwadratuur (GLK) is een speciaal geval van gauss-kwadratuur. Ze dient om de integraal van een functie
over het interval
numeriek te benaderen. Dat gebeurt door de gewogen som te nemen van de functiewaarden
in bepaalde steunpunten
. Het aantal steunpunten in de GLK-formule van graad
is
.
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f67a08c5d676315fe3cb18619e368dfc14f23b)
De steunpunten zelf liggen bij een bepaalde graad
van GLK vast en liggen symmetrisch rondom de oorprong 0. Het zijn de wortels van de legendreveelterm van de graad
. Ze zijn niet equidistant. Dat betekent dat de afstand tussen twee opeenvolgende punten
en
niet altijd dezelfde is. Daarmee onderscheidt GLK zich van andere numerieke integratiemethoden die meestal wel equidistante steunpunten hebben.
De gewichten
liggen ook vast bij een bepaalde graad
. Ze kunnen berekend worden uit de legendreveelterm
van graad
:
![{\displaystyle w_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})\left(P'_{n+1}(x_{i})\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5b27d594aba0e2c6345c46ace31684d7a127e0)
Gauss-legendrekwadratuur van graad
heeft een nauwkeurigheidsgraad van
. Dat betekent dat GLK van graad
een veelterm van graad
exact kan integreren. De hoge nauwkeurigheidsgraad, vergeleken met andere numerieke integratiemethodes, is een gevolg van de orthogonaliteit van de legendreveeltermen op het interval
.
Uitbreiding
De methode kan worden uitgebreid tot een- of tweezijdig onbegrensde intervallen en inproducten van de vorm:
,
waarin de functie
een geschikte wegingsfuntie is en de benadering van de vorm is:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=\int _{a}^{b}g(x)W(x)\,{\rm {d}}x\approx \sum _{k=1}^{n}w_{k}\,g(x_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568761bf0db760bdaecd36e8675740f578c1fb88)
De integraal van de functie
met gewichtsfunctie
wordt door de kwadratuurformule als volgt benaderd:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}W(x)f(x)\,{\rm {d}}x\approx \sum _{k=1}^{n}{\frac {c_{n}/c_{n-1}}{P_{n}'(x_{k})P_{n-1}(x_{k})}}f(x_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6864316d2d1631f3044843ecc7f8b1d4be8dadb0)
Daarin
- is
een polynoom van de graad
en vormen de polynomen
een voor de integraal orthonormaal stelsel, dus:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}W(x)P_{n}(x)P_{m}(x)\,{\rm {d}}x=\delta _{nm}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264f631ca030d63ac4dc943145c4e8ba5a1b446d)
- zijn
de nulpunten van ![{\displaystyle P_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b845e52aab1ff2164ab7ce026bf467823f32de)
- is
de coëfficiënt van
in ![{\displaystyle P_{m}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1147a6ef62fb89d969335d1ef46427c24f133e)
- stelt
de afgeleide van
voor - is
de kroneckerdelta, dus 1 als
en 0 als ![{\displaystyle n\neq m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3994a24401e2dfabca26e4f36e53097a07a57af5)
Gauss-laguerrekwadratuur
Gauss-laguerrekwadratuur is de toepassing van Gauss-kwadratuur op functies op het interval
en gewichtsfunctie
. Een stelsel orthogonale polynomen wordt gevormd door de laguerre-polynomen. De te benaderen integraal wordt geschreven en benaderd als
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }e^{-x}e^{x}f(x)\,\mathrm {d} x\approx \sum _{k=1}^{n}w_{k}\,e^{x_{k}}f(x_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d81fe9faa0ecddf574c1114c38feb823d48f074)
Gauss-hermitekwadratuur
Gauss-hermitekwadratuur is de toepassing van Gauss-kwadratuur op functies op het interval
en gewichtsfunctie
. Een stelsel orthogonale polynomen wordt gevormd door de hermite-polynomen. De te benaderen integraal wordt geschreven en benaderd als
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}e^{x^{2}}f(x)\,\mathrm {d} x\approx \sum _{k=1}^{n}w_{k}\,e^{x_{k}^{2}}f(x_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6ec847e41b476830eed1fbf119e2de2ad117a8)
Voorbeeld
Op het interval
vormen de legrendre-polynomen een orthogonaal stelsel. Voor
is de genormeerde versie
![{\displaystyle P_{4}(x)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt {\tfrac {9}{2}}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18cd8c3e4acfcfbace19ffe4bdd8b75f71f61b9)
Deze polynoom is kwadratisch in
, dus zijn de nulpunten van de vorm
,
dus
![{\displaystyle x_{4}=-x_{1}={\sqrt {{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {4}{7}}{\sqrt {\tfrac {3}{10}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a4d2a55a7b729562c1a1f9835c5bf722ab03c3)
![{\displaystyle x_{3}=-x_{2}={\sqrt {{\tfrac {3}{7}}-{\tfrac {4}{7}}{\sqrt {\tfrac {3}{10}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52083769a34ce3599108ffe41a4fda5d57101a04)
De vergelijkingen voor de gewichtsfactoren zijn:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{4}w_{k}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b033d613b10e6755bddd9da0392ae0e3f83c92)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{4}w_{k}x_{k}=\sum _{k=1}^{4}w_{k}x_{k}^{3}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0852ea003735b9f44fadcad5f73ab8a4f8d278)
,
waaruit volgt
en ![{\displaystyle w_{2}=w_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0542800d6ca1e1964a49529642d3ddc887fcd5e5)
![{\displaystyle w_{1}+w_{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d463c06551f42bd77ef6927f0e9e8646531e99c)
![{\displaystyle w_{1}x_{1}^{2}+(1-w_{1})x_{2}^{2}={\tfrac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf28771b657ed13b8836d90ecb920d90a32ad613)
Dus is
![{\displaystyle w_{1}={\frac {{\tfrac {1}{3}}-x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}={\frac {{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {4}{7}}{\sqrt {\tfrac {3}{10}}}}{{\tfrac {8}{7}}{\sqrt {\tfrac {3}{10}}}}}={\tfrac {1}{2}}+({\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {3}{7}}){\tfrac {7}{8}}{\sqrt {\tfrac {10}{3}}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {5}{6}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f412601dd911e7c7aff261c928a687e900d7054)
zodat
en ![{\displaystyle \quad w_{2}=w_{3}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {5}{6}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed3180856cd5c9fa09a223bcc186a6e2fdf56a72)
Als benadering voor de integraal
![{\displaystyle I=\int _{-1}^{1}\cos({\tfrac {\pi }{2}}x)\,{\rm {d}}x={\frac {4}{\pi }}=1{,}2732395\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7ed7adbdfc45eaa07495217bf98fdbf94dc490)
geeft Gauss-kwadratuur:
![{\displaystyle I\approx \sum w_{k}\cos({\tfrac {\pi }{2}}x_{k})=1{,}2732295\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a25c7af625db9f3a1a531f14d28d04687eff42)
De gewichtsfactoren kunnen ook met de genoemde formule berekend worden:
![{\displaystyle w_{1}={\frac {c_{4}/c_{3}}{P_{4}'(x_{1})P_{3}(x_{1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd76de44320fa9916a57db5c2947c0816962296)
Nu is
![{\displaystyle P_{4}'(x_{1})/c_{4}=4x_{1}^{3}-{\tfrac {12}{7}}x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557bf3fbb3bf45a751e7066756e12d94fff45b10)
en
![{\displaystyle P_{3}(x)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\tfrac {7}{2}}}(5x^{3}-3x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e40818b14955e00d599472dc494bc7b334c058b)
dus
![{\displaystyle c_{3}={\tfrac {5}{2}}{\sqrt {\tfrac {7}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d950abe289d3aedd6f0f47f4d587a85dfe29ad2d)
en
.
Invullen levert:
![{\displaystyle ={\frac {2}{5(7x_{1}^{3}-3x_{1})(5x_{1}^{3}-3x_{1})}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3751a3b4ec65eae5dc4dbb33cd7f04a5a440db0e)
![{\displaystyle ={\frac {2}{5(35x_{1}^{6}-36x_{1}^{4}+9x_{1}^{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29198a3b91affa13eb921266a6bc2cbaec85c0f4)
Omdat
een nulpunt is van
, is
, met als gevolg:
![{\displaystyle ={\frac {1}{15x_{1}^{2}(1-x_{1}^{2})}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d4798fce8568cbc3ba8be6e3dec408cd1514fc)
![{\displaystyle ={\frac {49}{6(30+4{\sqrt {30}})(10-{\sqrt {30}})}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e2695b7d872bca513d826ca5e23ca3f2d35b46)
![{\displaystyle ={\frac {49}{6(18+{\sqrt {30}})}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425aba52858604dac1be09201e3b83cf351e4373)
![{\displaystyle ={\frac {49}{6(18^{2}-30)}}(18-{\sqrt {30}})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cad2e1bbfb4812dbf7d90e621dfa6d01bc86e8d)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {5}{6}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e8d8e5e703f70237985f0e4315fa8fd9f76d95)
Referenties
- ↑ Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, Comm. Soc. Sci. Göttingen Math., deel 3, 1815, 29-76, Gallica, (gedateerd 1814). Gearchiveerd op 30 november 2022.
- ↑ Jacobi Ueber Gauß’ neue Methode, die Werthe der Integrale näherungsweise zu finden. Journal für Reine und Angewandte Mathematik, deel 1, 1826, 301-308, Online
- ↑ Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3e druk), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3
Externe links
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], Gauss quadrature formula, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Legendre-Gausskwadratuur in MathWorld