Harmonische ligging

Van vier verschillende punten ${\displaystyle A,B,S}$ en ${\displaystyle T}$ die op één lijn liggen, zegt men dat de paren ${\displaystyle (A,B)}$ en ${\displaystyle (S,T)}$ harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als

${\displaystyle {\frac {|AS|}{|BS|}}={\frac {|AT|}{|BT|}}}$

Daarin staat ${\displaystyle |AB|}$ voor de lengte van het lijnstuk ${\displaystyle AB}$.

De punten ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle T}$ worden harmonische verwanten ten opzichte van (c.q. bij) het puntenpaar ${\displaystyle (A,B)}$ genoemd. Ook wel: de punten ${\displaystyle A,B}$ scheiden de punten ${\displaystyle S,T}$ harmonisch.

Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding ${\displaystyle (A,B;S,T)}$ van de punten gelijk is aan ${\displaystyle -1}$.^[1]

Gegeven zijn de punten ${\displaystyle A,B}$ en ${\displaystyle S}$ die op één lijn liggen; ${\displaystyle S}$ ligt in dit geval tussen ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$.
Te construeren: het punt ${\displaystyle T}$ op de lijn ${\displaystyle AB}$ zó dat de puntenparen ${\displaystyle (A,B)}$ en ${\displaystyle (S,T)}$ elkaar harmonisch scheiden.

Constructiestappen^[2]

1. Punt = C \\ niet op de lijn AB

2. Lijn(C, A) ; Lijn(C, B) ; Lijn(C, S)

3. PuntOp(CS) = M

4. Lijn(A, M) ; Lijn(B, M)

5. Snijpunt(AM, BC) = F ; Snijpunt(BM, AC) = E

6. Lijn(E, F)

7. Snijpunt(EF, AB) = T

Dan is T het gevraagde punt.

Constructiestappen

1. Lijn(A, B) = g

2. Cirkel(AB) = k \\ AB is middellijn, M is middelpunt

3. Loodlijn(S, g) = l \\ loodlijn in S op g

4. Snijpunt(k, l) = Q

5. Lijnstuk(M, Q) = MQ

6. Loodlijn(Q, MQ) = t \\ raaklijn in Q aan k

7. Snijpunt(t, g) = T

Dan is T de harmonisch verwante van S bij het puntenpaar (A, B).

De juistheid van deze constructie volgt uit de stelling van Ceva en die van Menelaos. Immers, daaruit blijkt opvolgend dat:

${\displaystyle {\frac {|AS|}{|SB|}}\cdot {\frac {|BF|}{|FC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1}$

en dat:

${\displaystyle {\frac {|AT|}{|BT|}}\cdot {\frac {|BF|}{|FC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1}$

Zodat ${\displaystyle {\frac {|AS|}{|BS|}}={\frac {|AT|}{|BT|}}}$.

Met ${\displaystyle MA=MB=MQ=r,MS=p,TS=q}$ is dan:

${\displaystyle {\frac {|AS|}{|BS|}}\cdot {\frac {|BT|}{|AT|}}={\frac {r+p}{r-p}}\cdot {\frac {p+q-r}{p+q+r}}}$

Rekening houdend met de relatie ${\displaystyle r^{2}=p(p+q)=p^{2}+pq}$, die geldt in de rechthoekige driehoek ${\displaystyle MTQ}$, leidt dit tot:

${\displaystyle {\frac {|AS|}{|BS|}}\cdot {\frac {|BT|}{|AT|}}={\frac {pr+qr-pr}{pr+qr-pr}}=1}$, zodat ook hier ${\displaystyle {\frac {|AS|}{|BS|}}={\frac {|AT|}{|BT|}}}$.

Omdat de dubbelverhouding ${\displaystyle (A,B;S,T)=-1}$, volgt dat

${\displaystyle |AS|\cdot |BT|-|AT|\cdot |BS|=0}$

zodat

${\displaystyle |AS|\cdot (|AB|-|AT|)+|AT|\cdot (|AB|-|AS|)=0}$

of:

${\displaystyle |AS|\cdot |AB|+|AT|\cdot |AB|=2|AT|\cdot |AS|}$

Dus is

${\displaystyle {\frac {1}{|AS|}}+{\frac {1}{|AT|}}={\frac {2}{|AB|}}}$,

wat inhoudt dat ${\displaystyle |AB|}$ het harmonisch gemiddelde is van ${\displaystyle |AS|}$ en ${\displaystyle |AT|}$.

Als ${\displaystyle (A,B)}$ en ${\displaystyle (S,T)}$ harmonisch liggen en ${\displaystyle M}$ het midden is van ${\displaystyle AB}$, dan geldt

${\displaystyle |MB|^{2}=|MS|\cdot |MT|}$,

${\displaystyle |MS|\cdot |ST|=|AS|\cdot |SB|}$.

Daar het begrip dubbelverhouding ook gedefinieerd is voor een vierstraal − dit is een geordend viertal coplanaire, concurrente, rechte lijnen − kan men ook harmonische ligging van zo'n vierstraal definiëren. De vierstraal ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ is harmonisch als zijn dubbelverhouding ${\displaystyle (abcd)}$ gelijk is aan −1.

Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig.

• De vierstraal ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ is harmonisch.
• De lijnen ${\displaystyle c}$ en ${\displaystyle d}$ liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$.
• Lijn ${\displaystyle d}$ is harmonisch toegevoegd aan lijn ${\displaystyle c}$ ten opzichte van de lijnen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$.

• De bissectrices van twee lijnen liggen harmonisch ten opzichte van die twee lijnen.
• Twee diagonalen van een volledige vierhoek liggen harmonisch ten opzichte van de zijden door hun snijpunt
• De poollijn van een punt ${\displaystyle P}$, ten opzichte van de rechten ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ met snijpunt ${\displaystyle S}$, is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn ${\displaystyle SP}$ ten opzichte van de lijnen${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$.

• Poolverwantschap, pool en poollijn