Logistische functie
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ac/Logistic-curve.png)
De logistische functie, zo genoemd door de Belgische wiskundige Pierre-François Verhulst, beschrijft het verloop van de omvang van een populatie als functie van de tijd , als de verandering van de populatie-omvang zowel evenredig is:
- met de huidige omvang van de populatie
- als met de nog voorhanden "groeiruimte" ,
waarin de maximale omvang is die de populatie kan bereiken.
Deze eisen leiden tot de differentiaalvergelijking:
De oplossing daarvan is:
die door scheiding van variabelen gevonden kan worden.
De grafiek van deze functie heeft een S-vorm (sigmoïde). Deze vorm laat zich als volgt interpreteren: In het begin ( klein) stijgt de populatie-omvang langzaam, omdat het aantal individuen nog laag is. Aan het eind ( groot), stijgt de populatie-omvang ook nog maar langzaam en nadert asymptotisch het maximum , omdat dan de begrenzing van de omvang de remmende factor is. In het begin heeft exponentiële groei de overhand, op het einde exponentiële krimp. Halverwege is er constante groei: als de populatiegrootte de helft van het maximum bereikt heeft, is de stijging het grootst.
Oplossing
De differentiaalvergelijking
gaat door scheiding van variabelen over in:
Door integratie en breuksplitsing volgt:
zodat:
Daaruit volgt:
De integratieconstante kan uitgedrukt worden in de populatie-omvang op het tijdstip 0:
Toepassing
Logistische groei kan als model gebruikt worden voor bacteriekolonies en muizenpopulaties waarvan de populatie-omvang begrensd wordt door de beperkte aanwezigheid van voedsel.
Zie ook
- Logistische verdeling