Tensor
Tensoren zijn wiskundige objecten uit de lineaire algebra en de differentiaalmeetkunde die als generalisatie van vectoren en matrices kunnen worden beschouwd. Augustin-Louis Cauchy was een van de wiskundigen die in 1822 de basis legde voor de tensorrekening. Tensoren vinden hun oorsprong in de natuurkunde en werden pas later in de wiskunde gepreciseerd. Tensoren komen in de algemene relativiteitstheorie veel voor, maar ook in de differentiaalmeetkunde en daardoor ook in de materiaalkunde. Denk aan vervorming van voorwerpen.
Definities
Er zijn verschillende definities van het begrip tensor. Hoewel ze op het eerste gezicht zeer verschillend zijn, beschrijven ze toch hetzelfde meetkundige concept, zij het in verschillende termen en niveaus van abstractie.
Tensoren worden ingedeeld naar type , met en natuurlijke getallen. Daarvan duidt het getal op het aantal zogenaamde contravariante indices en op het aantal covariante indices. In totaal zijn er zo indices, die elk waarden kunnen aannemen, met de dimensie van de ruimte. Een tensor van type wordt gegeven door getallen, namelijk één getal voor elke combinatie van indexwaarden.
Afhankelijk van de context wordt met een tensor vaak een entiteit op zichzelf bedoeld, onafhankelijk van het coördinatenstelsel. Als een tensor wordt gegeven door de getallen, moet men er dus bijzeggen voor welk coördinatenstelsel deze gelden. Voor een ander coördinatenstelsel, met toepassing van een basistransformatie van de onderhavige vectorruimte, kan men de getallen omrekenen. De termen contravariant en covariant geven daarbij aan hoe de betrokken indices getransformeerd moeten worden.
Er wordt met een tensor ook vaak een tensorveld bedoeld, dat wil zeggen een tensor afhankelijk van positie of ruimtetijdpositie.
Als meerdimensionale rij
Een vector is voor te stellen als een eendimensionale getallenrij die samen met de bijbehorende geordende basis de vector bepaalt:
- ,
waarin de laatste uitdrukking volgens de einstein-sommatieconventie hetzelfde betekent als de daaraan voorafgaande som.
Analoog is een -matrix een tweedimensionale getallenrij , waarin het element van is op de -de rij en in de -de kolom. De matrix stelt een afbeelding voor die de basisvector afbeeldt op de beeldvector
Een tensor , als generalisatie van deze begrippen, is een meerdimensionale getallenrij. Voor dimensies wordt het element met indices aangegeven door:
Daarbij wordt onderscheid gemaakt tussen de zogeheten contravariante indices, die als bovenindices genoteerd worden en covariante indices, genoteerd als onderindices. Een dergelijke tensor wordt van het type genoemd, met dus het aantal contravariante indices, en het aantal covariante.
Bij overgang op nieuwe basisvectoren , gegeven in termen van de oude door
worden de coördinaten van de vector met betrekking tot de nieuwe basis bepaald door:
De coördinaten transformeren dus tegengesteld (via ) aan de basisvectoren die via transformeren. De vector heet daarom contravariant en de indices van de coördinaten eveneens contravariant. Zij worden genoteerd als bovenindices. Een contravariante vector is daarmee een tensor van type (1,0).
Voor de getransformeerde matrix geldt:
De elementen van worden dus gegeven door:
De rij-indices van de matrixelementen transformeren dus via , dus contravariant, en de kolomindices via , dus covariant. Daarom is de rij-index als bovenindex geschreven en de kolomindex als onderindex. Een matrix is dus een tensor van type (1,1).
De elementen van de tensor
van type , worden dus als volgt getransformeerd:
- .
Als multilineaire afbeelding
Deze definitie beschouwt een tensor als een multilineaire afbeelding. Een tensor van type , dus met contravariante en covariante indices, is een afbeelding:
die lineair is in elk van z'n argumenten. Daarbij is een vectorruimte en de bijbehorende duale vectorruimte.
De tensor van type beeldt een combinatie van elementen van de basis van en elementen van de bijbehorende canonieke duale basis van af op:
- ,
een -dimensionale rij coördinaten (vaak ook componenten genoemd) van .
In de vorm van een tensorproduct
Tensors worden ingevoerd als elementen van het tensorproduct van twee of meer vectorruimten. Dit tensorproduct wordt voortgebracht door het tensorproduct van de basisvectoren van elk van die ruimten. Als de vectorruimten over eenzelfde lichaam (Ned) / veld (Be) zijn en bases van deze ruimten zijn, wordt het tensorproduct van de ruimten genoteerd als
Dit tensorproduct heeft een basis die bestaat uit de tensorproducten van de vectoren uit de bases :
Deze tensorproducten vormen een nieuw soort elementen, die op formele wijze een combinatie zijn van de basisvectoren.
In het bijzonder heeft het -voudige tensorproduct van met zichzelf
de natuurlijke basis
Een -de orde tensor uit dit tensorproduct heeft ten opzichte van de natuurlijke basis de componenten
Als de vectorruimte dimensie heeft, dan zijn er dergelijke componenten, te rangschikken in een -dimensioniale hyperkubus van getallen.
Analoog worden ook de elementen van de tensorproducten van de duale vectorruimte , tensoren genoemd. Om onderscheid te maken, worden de basisvectoren van meestal met bovenindices genoteerd (zoals boven ook al gedaan), zodat de componenten van een "duale" tensor onderindices krijgen, bijvoorbeeld
Een tensor van de orde is dan een element van het tensorproduct:
Identificatie van vectorruimte en duale vectorruimte
Een vectorruimte met een niet-gedegenereerde bilineaire vorm wordt op canonieke wijze geïdentificeerd met zijn eigen duale vectorruimte. Zij een willekeurige vector van . Dan is de afbeelding
lineair, dus een element van de duale ruimte . De afbeelding
is een isomorfisme van vectorruimten.
Boven kozen we de basisvectoren van de duale ruimte zo dat , zodat , maar in plaats daarvan kunnen we hier ook kiezen, zodat .
Het omgekeerde isomorfisme van vectorruimten wordt bekomen door de inverse van de matrix te berekenen, men noteert hem met bovenindices:
Het feit dat de matrices en elkaars inverse zijn, uit zich in de formule
Symmetrie
In sommige gevallen is een tensor symmetrisch of antisymmetrisch. Voor een symmetrische tensor geldt: . Voor een antisymmetrische tensor geldt . In het algemeen is een tensor noch symmetrisch, noch antisymmetrisch.
Elke tensor heeft een symmetrisch deel en een antisymmetrisch deel , bepaald door
Het symmetrische en antisymmetrische deel van een tensor bevatten samen evenveel informatie als de originele tensor.
Deze regels kunnen uitgebreid worden voor tensoren van willekeurige orde (zie externe links).
Voorbeeld: type (0,0)
Een (0,0)-tensor wordt gegeven door één getal, met de eenheid. Het getal met eenheid is onafhankelijk van het coördinatenstelsel. Het is een scalair in de meest strikte zin, ook strikter dan een lorentzscalair.
Volgens de systematiek om een tensor te beschouwen als een lineaire afbeelding is de tensor een lineaire afbeelding van de verzameling 0-tupels naar de verzameling reële getallen. De verzameling 0-tupels heeft één element; als een tupel wordt gezien als een afbeelding van de indexverzameling naar , is dit element de lege functie. Een (0,0)-tensor is een afbeelding van de verzameling met dit ene element naar de verzameling reële getallen en wordt dus gegeven door één reëel getal. De afbeelding is "lineair in elk van zijn nul argumenten", niet te verwarren met een afbeelding die lineair is in dit domein gezien als vectorruimte, want dan zou de waarde nul zijn.
Voorbeeld: type (1,0)
Een tensor van type (1,0) is een gewone vector over het lichaam (Ned) / veld (Be) . Hij heeft één contravariante index (in tensornotatie genoteerd als bovenindex) die waarden kan aannemen, met de dimensie van de ruimte. Zo'n tensor wordt voor een gegeven basis dus gegeven door getallen, kentallen of coördinaten genoemd. De vector wordt veelal opgevat als kolomvector met deze getallen. Voor een coördinatenstelsel met een andere basis kan men de getallen omrekenen met behulp van de vierkante matrix die bij de basistransformatie hoort:
- (contravariant omrekenen)
Volgens de systematiek om een tensor te beschouwen als een lineaire afbeelding is de tensor een lineaire afbeelding
Daarbij is de duale vectorruimte behorende bij een vectorruimte , die uit alle lineaire functionalen op bestaat, dat wil zeggen de lineaire afbeeldingen naar .
Als een basis van wordt gekozen wordt de tensor gegeven door getallen, verkregen door de tensor op de betreffende basisvectoren toe te passen:
Voorbeeld: type (0,1)
Een tensor van type (0,1) is een lineaire functionaal
Als een basis van wordt gekozen wordt de tensor gegeven door getallen, verkregen door de tensor op de basisvectoren toe te passen:
Er is dus één covariante index (genoteerd als onderindex) die waarden kan aannemen, met de dimensie van de ruimte.
Voorbeeld: type (0,2)
Een tensor van type (0,2) is een bilineaire afbeelding
Daarbij is een vectorruimte.
De tensor beeldt een combinatie van twee elementen van de basis van af op
Het tensorproduct heeft een basis die bestaat uit de tensorproducten
Een belangrijk voorbeeld van een tensor van dit type is de metrische tensor . De stelling van Pythagoras (in elke dimensie) is gebaseerd op deze tensor.
Tensoranalyse
Met een tensor van een bepaald type kan voor elk ander type een tensor van dat andere type geassocieerd worden, die daar op een vaste manier van afgeleid wordt. Deze verschillende tensoren kunnen in de notatie als component die afhangt van indices geschreven worden met dezelfde letter, want de posities van de indices geven het onderscheid aan. Aangezien een tensor een entiteit is die onafhankelijk is van coördinaten/basisvectoren is het echter vaak handig om deze te beschouwen als afbeelding (zoals boven beschreven). Het onderscheid moet dan op andere wijze worden aangegeven, bijvoorbeeld met verschillende letters. Bij het omzetten van de ene tensor in de andere staan één vaste tensor, de metrische tensor , en zijn inverse , centraal:
- Indices verlagen: een superscriptindex kan een subscriptindex worden:
- Indices verhogen: een subscriptindex kan een superscriptindex worden:
- Contractie of verkleinen van een tensor kan door twee indices gelijk te stellen:
- Twee indices verlagen:
- Twee indices verhogen:
Merk op dat in het algemeen niet de inverse is van , dit geldt alleen voor de metrische tensor. Als we bijvoorbeeld met twee vermenigvuldigen dan wordt ook met twee vermenigvuldigd, niet door twee gedeeld.
Uit volgt .
Uitgaande van kunnen we dus construeren (en omgekeerd), en vervolgens
Uitgaande van kunnen we construeren (en omgekeerd), en vervolgens , bijvoorbeeld , en vervolgens .
P-tensor
Een voorbeeld van een veel gebruikte tensor in topologische stringtheorie is de P-tensor. Deze heeft de volgende bijzondere eigenschap:
De tensor is een symmetrische tensor van de tweede orde, waarbij de componenten tussen nul en een liggen. De P-tensor komt voor bij de beschrijving van het "parameter-landschap" van het standaardmodel.
Notatie
De notatie van tensoren varieert. Misner, Charles W., Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald: Gravitation, Freeman, San Francisco, 1970 en latere uitgaven bevat een overzicht van de verschillende notaties.
Websites
- Mathworld: Tensor