Wishartverdeling

De wishartverdeling is een multivariate kansverdeling. De verdeling is in meer dimensies een generalisatie van de chi-kwadraatverdeling en bij een niet-geheel aantal vrijheidsgraden van de gamma-verdeling. De verdeling is genoemd naar John Wishart, die de verdeling voor het eerst formuleerde in 1928.^[1]

De wishartverdelingen vormen een familie van verdelingen van stochastische grootheden met als waarden symmetrische niet-negatief definiete matrices. Zij spelen een belangrijke rol bij de schattingen van covariantiematrices in de multivariate statistiek. In Bayesiaanse statistiek is de wishartverdeling de geconjugeerde a-prioriverdeling van de inverse covariantiematrix van een meerdimensionaal normaalverdeelde stochastische vector.

Zij ${\displaystyle X}$ een ${\displaystyle n\times p}$-matrix waarvan de rijen onderling onafhankelijk zijn en elke rij een steekproef is uit een ${\displaystyle p}$-dimensionale multivariate normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en covariantiematrix ${\displaystyle V}$.

${\displaystyle X_{(i)}{=}(X_{i1},\dots ,X_{ip})\sim N_{p}(0,V).}$

De wishartverdeling is dan de kansverdeling van de stochastische ${\displaystyle p\times p}$-matrix ${\displaystyle S=X^{T}X}$, en men noteert;

${\displaystyle S\sim W_{p}(V,n).}$

Het positieve gehele getal ${\displaystyle n}$ heet het aantal vrijheidsgraden. Voor ${\displaystyle n\geq p}$ is ${\displaystyle S}$ met kans 1 niet-inverterrbaar als ${\displaystyle V}$ niet-inverterrbaar is.

Voor ${\displaystyle p=1}$ en ${\displaystyle V=1}$ komt de wishartverdeling overeen met de chi-kwadraatverdeling met 1 vrijheidsgraad.

Zij ${\displaystyle V}$ een positieve ${\displaystyle p\times p}$-matrix en ${\displaystyle W}$ een positief-definiete symmetrische stochastische ${\displaystyle p\times p}$-matrix die wishartverdeeld is met parameters ${\displaystyle n\geq p}$ en ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle W\sim W_{p}(V,n)}$

Dan wordt de kansdichtheid ${\displaystyle f_{W}}$ van ${\displaystyle W}$ gegeven wordt door:

${\displaystyle f_{W}(w)={\frac {\det(w)^{(n-p-1)/2}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}{\rm {sp}}(V^{-1}w)\right)}{2^{np/2}\det(V)^{n/2}\Gamma _{p}(n/2)}}}$

Daarin staat ${\displaystyle \det }$ voor de determinant van een matrix, stelt ${\displaystyle sp}$ het spoor van een matrix voor, en is ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ de meerdimensionale gammafunctie, gedefinieerd door:

${\displaystyle \Gamma _{p}({\tfrac {1}{2}}n)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(n+1-j)\right)}$

De matrix ${\displaystyle V}$ in de wishartverdeling ${\displaystyle W_{p}(V,n)}$ is een schaalparameter, in de zin dat als de stochastische matrix ${\displaystyle W}$ wishartverdeeld is met parameters ${\displaystyle (p,n,V)}$:

${\displaystyle W\sim W_{p}(V,n)}$,

de gestandaardiseerde matrix ${\displaystyle V^{-{\tfrac {1}{2}}}WV^{-{\tfrac {1}{2}}}}$ wishartverdeeld is met parameters ${\displaystyle (p,n,I_{p})}$:

${\displaystyle V^{-{\tfrac {1}{2}}}WV^{-{\tfrac {1}{2}}}\sim W_{p}(I_{p},n)}$,

waarin ${\displaystyle I_{p}}$ de ${\displaystyle p}$-dimensionale eenheidsmatrix is.

De wishartverdeling is reproductief, wat inhoudt dat als ${\displaystyle W_{1},\ldots ,W_{m}}$ onderling onafhankelijke wishartverdeelde matrices zijn, met

${\displaystyle W_{i}\sim W_{p}(V,n_{i})}$,

de som ook wishartverdeeld is met ${\displaystyle n=n_{1}+\ldots +n_{m}}$ vrijheidsgraden:

${\displaystyle W_{1}+\ldots +W_{m}\sim W_{p}(V,n)}$