Ekvikontinuitet

Ekvikontinuitet beskriver en egenskap som kan tilordnes en familie av funksjoner. En familie av funksjoner sies å være ekvikontinuerlig dersom alle funksjonene er kontinuerlige og har lik variasjon i en gitt omegn.

Ekvikontinuitet angis som en betingelse i Arzelà–Ascolis teorem, som gir nødvendige og tilstrekkelige betingelser for når en gitt familie av reelle kontinuerlige funksjoner har en uniformt konvergent delfølge.

Hvis ${\displaystyle X,Y}$ er topologiske rom, ${\displaystyle C(X)}$ mengden av kontinuerlige funksjoner fra ${\displaystyle X}$ til ${\displaystyle Y}$ og ${\displaystyle F\subseteq C(X)}$ (en mengde kontinuerlige funksjoner ${\displaystyle f:X\to Y}$, sies ${\displaystyle F}$ å være ekvikontinuerlig i x dersom, for alle ${\displaystyle \epsilon >0}$ og alle ${\displaystyle x\in X}$, finnes en omegn ${\displaystyle U}$ rundt ${\displaystyle x}$ slik at

${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$

for alle ${\displaystyle y\in U}$ og alle ${\displaystyle f\in F}$. ${\displaystyle F}$ sies å være ekvikontinuerlig dersom ${\displaystyle F}$ er ekvikontinuerlig i ${\displaystyle x}$ for alle ${\displaystyle x\in X}$.^[1]