En invers funksjon eller en omvendt funksjon er en funksjon som «opphever virkningen av» en annen funksjon. Mer presist uttrykt er to funksjoner f og g inverse hvis og bare hvis
og
for alle x, y i domenet til henholdsvis x og y. Vi uttrykker det inverse forholdet med:
Uttrykket må ikke forveksles med
En funksjon har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Hvis den finnes, er den unik. En funksjon som har en invers, sies å være inverterbar. Begrepet «invers» ble først brukt på 1900-tallet i en tekst av James Pierpont.[1]
Egenskaper
Definisjonsområder
Dersom er en inverterbar funksjon med domene og kodomene , vil den inverse funksjonen av f ha domene og kodomene :
og
De sammensatte funksjonene og er like identitetsfunksjonen definert over domenet X og Y respektivt:
og
Eksistens
En funksjon har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Dette følger av at dersom den har en invers, vil den være surjektiv og injektiv:
Dersom har en invers , så vil for enhver , slik at , altså er f surjektiv
Dersom og f har en invers , så er , altså er og f er injektiv
Motsatt vil en bijektiv funksjon alltid ha en invers:
Dersom er bijektiv, og , vil det finnes én og bare én slik at . Altså kan man definere en funksjon slik at for enhver , som vil være en invers av f.[2]
Se også
Omvendt funksjonsteorem
Referanser
^«Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I)». 27. august 2018. Besøkt 26. januar 2018.
^Patrick Keef, David Guichard. «4.6 Bijections and Inverse Functions». Besøkt 26. januar 2018.
Eksterne lenker
(en) Eric W. Weisstein, Inverse Function i MathWorld.
Denne artikkelen er en spire. Du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den.
Oppslagsverk/autoritetsdata
Store norske leksikon · Encyclopædia Britannica · MathWorld · GND