Riemann-hypotesen

Riemann-hypotesen er en matematisk formodning som sier at Riemanns zetafunksjon,

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$,

bare kan være lik null når ${\displaystyle s}$ er lik enten et negativt partall eller et komplekst tall med realdel lik ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$.

Formodningen er ikke bevist, derav betegnelsen hypotese. Man vet imidlertid at formodningen er sann for de negative partallene, det vil si at ${\displaystyle \zeta (s)=0}$ når ${\displaystyle s=-2,-4,-6,\cdots }$. Disse nullpunktene til ${\displaystyle \zeta (s)}$ kalles trivielle nullpunkter. Funksjonen ${\displaystyle \zeta (s)}$ har imidlertid flere nullpunkter enn disse. Disse nullpunktene kalles ikke-trivielle nullpunkter, og det er hvor disse ikke-trivielle nullpunktene ligger som foreløpig ikke er bevist, og som Riemann-hypotesen konsentrerer seg om.

Riemann-hypotesen sier at man bare kan finne ikke-trivielle nullpunkter der ${\displaystyle s}$ er lik et komplekst tall ${\displaystyle s=\sigma +it}$ med realdel ${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2}}}$. Hvis hypotesen er korrekt, vil derfor alle de ikke-trivielle nullpunktene ligge langs den kritiske linjen ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}+it}$ i det komplekse planet.

Riemann-hypotesen er et av de største uløste problemene i matematikken, og det ble plukket ut av Clay Mathemathics Institute som et av de syv millenniumprisproblemene i år 2000, som til dags er seks igjen.^[1] Den som klarer å løse et av disse seks problemene, vil bli tildelt én million amerikanske dollar.^[2] Riemann-hypotesen er av stor betydning fordi det er mange andre matematiske formodninger som er bevist å være sanne dersom Riemann-hypotesen er sann. Blant annet har plasseringen av de ikke-trivielle nullpunktene til Riemanns zetafunksjon betydning for fordelingen av primtallene.^[1]

Hypotesen ble fremsatt i 1859 av den tyske matematikeren Bernhard Riemann og er derfor navngitt etter ham. Den norske matematikeren Atle Selberg har levert et av de viktigste bidragene for å forsøke å løse problemet.^[3]

• Populærvitenskapelig fremstilling av problemet hos Numberphile